Autovalori, autovettori e diagonalizzazione

Determinare autovalori e autospazi della matrice

$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 2\end{array}\right).$$

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Determinare $k\in \mathbb{R}$ in modo che $v=(1,1)$ sia un autovettore della matrice

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& k\\ 2& 3\end{array}\right),$$

e per tale valore calcolare gli autovalori e gli autospazi di $A$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Determinare autovalori, molteplicità algebrica e geometrica e una base di ciascun autospazio della matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 3& 0\\ -4& 4& 3\end{array}\right).$$

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Verificare che $v=(1,1,1)$ è un autovettore della matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 0& 3& -1\\ 1& 1& 0\end{array}\right),$$

determinare tutti gli autovalori di $A$ e stabilire se $A$ è diagonalizzabile.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Determinare una matrice invertibile $P$ e una matrice diagonale $D$ tali che $P^{-1}AP=D$, dove

$$A=\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 1& 1\end{array}\right).$$

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Diagonalizzare la matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 2& 0\\ 0& 1& 3\end{array}\right),$$

cioè determinare $P$ invertibile e $D$ diagonale tali che $P^{-1}AP=D$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Stabilire se la matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 3& 0\\ 0& 2& 0\\ 3& -2& 2\end{array}\right)$$

è diagonalizzabile.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Determinare gli autovalori reali e i relativi autospazi della matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& -1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$$

e stabilire se $A$ è diagonalizzabile su $\mathbb{R}$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Determinare per quali $k\in \mathbb{R}$ la matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& k& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$$

è diagonalizzabile.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Determinare per quali $k\in \mathbb{R}$ la matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& k& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& k\end{array}\right)$$

è diagonalizzabile.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Calcolare $A^n$ per ogni intero $n\ge 1$, dove

$$A=\left(\begin{array}{cc}-4& 3\\ -6& 5\end{array}\right).$$

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Sia $f:{\mathbb{R}}_2[x]\to {\mathbb{R}}_2[x]$ l’endomorfismo definito da $f(p(x))=p(x+1)$. Determinare autovalori e autospazi di $f$ e stabilire se $f$ è diagonalizzabile.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Sia $f:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$ l’endomorfismo tale che

$$f(1,1,0)=(2,2,0),f(0,1,1)=(0,2,2),f(1,0,1)=(0,0,0).$$

Determinare autovalori e autospazi di $f$, stabilire se $f$ è diagonalizzabile e scrivere la matrice associata a $f$ rispetto alla base canonica.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.