Prodotto scalare, ortogonalità e teorema spettrale

Calcolare l’angolo fra i vettori $u=(1,1,1,1)$ e $v=(1,0,1,0)$ di ${\mathbb{R}}^4$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Determinare i valori di $k\in \mathbb{R}$ per cui i vettori $u=(k,1,k)$ e $v=(k,-5,4)$ sono ortogonali.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Calcolare la proiezione ortogonale di $v=(3,4,-1)$ su $u=(1,2,-1)$ e la componente di $v$ ortogonale a $u$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Verificare che i vettori

$$e_1=\frac{1}{3}(1,2,2),e_2=\frac{1}{3}(2,1,-2),e_3=\frac{1}{3}(2,-2,1)$$

formano una base ortonormale di ${\mathbb{R}}^3$ e calcolare le coordinate di $v=(3,3,3)$ rispetto a questa base.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Applicare il procedimento di Gram-Schmidt ai vettori $v_1=(1,0,1)$ e $v_2=(1,2,3)$ e determinare una base ortonormale di $⟨v_1,v_2⟩$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Applicare il procedimento di Gram-Schmidt ai vettori $v_1=(1,1,1,1)$, $v_2=(1,1,0,0)$, $v_3=(1,0,0,0)$ di ${\mathbb{R}}^4$, nell’ordine dato, e determinare una base ortonormale del sottospazio che generano.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Sia $W=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3:x-2y+z=0\}$. Determinare una base ortonormale di $W$ il cui primo vettore sia parallelo a $(1,1,1)$, con lo stesso verso.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Determinare la dimensione e una base del complemento ortogonale di

$$W=⟨(1,1,0,0),(0,1,1,1)⟩\subseteq {\mathbb{R}}^4.$$

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Sia

$$W=\left\{x\in {\mathbb{R}}^4:\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2-x_4=0\\ x_2+x_3=0\\ x_1-x_3-x_4=0\end{array}\right\}.$$

Determinare $\dim W$ e una base di $W^{\perp }$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Sia $W=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3:x+y-z=0\}$. Calcolare la proiezione ortogonale di $v=(2,3,2)$ su $W$ e la distanza di $v$ da $W$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Determinare $a,b,c\in \mathbb{R}$ in modo che la matrice

$$A=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& a\\ 2& 1& b\\ 2& -2& c\end{array}\right)$$

sia ortogonale con $\det A=1$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Determinare una matrice ortogonale $P$ e una matrice diagonale $D$ tali che $P^{T}AP=D$, dove

$$A=\left(\begin{array}{cc}7& 6\\ 6& -2\end{array}\right).$$

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Determinare una matrice ortogonale $P$ e una matrice diagonale $D$ tali che $P^{T}AP=D$, dove

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& -4\\ -2& 4& -2\\ -4& -2& 1\end{array}\right).$$

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.