Rette e piani nello spazio

Scrivere l’equazione cartesiana del piano passante per i punti $A=(1,2,0)$, $B=(3,0,1)$, $C=(0,1,1)$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Scrivere l’equazione del piano passante per $P=(1,-1,2)$ e parallelo alle rette

$$r:x=1+t,y=2t,z=3-t,s:x=2+u,y=1,z=u.$$

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Scrivere le equazioni parametriche e cartesiane della retta passante per $A=(2,1,-1)$ e $B=(4,0,1)$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Scrivere le equazioni parametriche della retta

$$r:\{\begin{array}{l}x+2y-z=3\\ x-y+z=0\end{array}$$

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Al variare di $k\in \mathbb{R}$, stabilire la posizione reciproca della retta $r:x=1+t$, $y=1-t$, $z=2+t$ e del piano ${\pi }_k:x+2y+kz=4$; per $k=0$ determinare il punto comune.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Stabilire la posizione reciproca delle rette

$$r:x=1+2t,y=-1+t,z=t,s:\{\begin{array}{l}x-z=1\\ y+z=-1\end{array}$$

e, se sono incidenti, determinarne il punto comune.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Calcolare l’angolo tra i piani ${\pi }_1:2x+y+2z=1$ e ${\pi }_2:y+z=4$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Calcolare l’angolo tra la retta

$$r:\{\begin{array}{l}x-y+1=0\\ z=2\end{array}$$

e il piano $\pi :y-z=3$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Calcolare la distanza del punto $P=(2,-1,3)$ dal piano $\pi :x-2y+2z+1=0$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Calcolare la distanza del punto $P=(4,1,2)$ dalla retta $r:x=2t$, $y=1+2t$, $z=1+t$ e determinare la proiezione ortogonale di $P$ su $r$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Determinare la proiezione ortogonale $H$ del punto $P=(3,-1,2)$ sul piano $\pi :2x-y+z=3$ e il simmetrico $P^{\prime }$ di $P$ rispetto a $\pi$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Determinare il piano che contiene la retta

$$r:\{\begin{array}{l}x-y+z=1\\ 2x+y-z=2\end{array}$$

ed è parallelo alla retta $s:x=t$, $y=1+2t$, $z=3-t$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Date le rette sghembe $r:x=1+t$, $y=2+t$, $z=1$ e $s:x=1+u$, $y=-1$, $z=-2+u$, determinare la distanza tra le rette e le equazioni della retta di minima distanza.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.