Teoria

Prodotto scalare, ortogonalità e teorema spettrale

Il prodotto scalare standard, la norma e gli angoli, le basi ortonormali, le proiezioni ortogonali con il procedimento di Gram-Schmidt, le matrici ortogonali e la diagonalizzazione ortogonale delle matrici simmetriche.

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Prodotto scalare standard e norma
Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e angolo tra vettori

Prodotto scalare standard e norma

1. Prodotto scalare standard

Dati $u = (u_{1}, \dots, u_{n})$ e $v = (v_{1}, \dots, v_{n})$ in $R^{n}$ , il prodotto scalare standard di $u$ e $v$ è il numero reale

⟨ u, v ⟩ = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + \dots + u_{n} v_{n},

indicato anche con $u \cdot v$ . Scrivendo i vettori in colonna risulta $⟨ u, v ⟩ = u^{T} v$ , cioè il prodotto righe per colonne della riga $u^{T}$ per la colonna $v$ ; questa forma è quella che si usa nei calcoli con le matrici. Per $u = (1, 2, - 1)$ e $v = (3, 0, 1)$ si ottiene $⟨ u, v ⟩ = 3 + 0 - 1 = 2$ . In $R^{2}$ e in $R^{3}$ la definizione coincide con il prodotto scalare dei vettori geometrici, per il quale si rimanda all’argomento sui vettori nel piano e nello spazio.

2. Proprietà del prodotto scalare

Per ogni $u, v, w \in R^{n}$ e ogni $α, β \in R$ valgono:

simmetria: $⟨ u, v ⟩ = ⟨ v, u ⟩$ ;
bilinearità: $⟨ α u + β w, v ⟩ = α ⟨ u, v ⟩ + β ⟨ w, v ⟩$ , e lo stesso nel secondo argomento;
definita positività: $⟨ v, v ⟩ = v_{1}^{2} + \dots + v_{n}^{2} \geq 0$ , con uguaglianza solo se $v = 0$ .

Le tre proprietà seguono direttamente dalla definizione, perché il prodotto scalare è una somma di prodotti di componenti. La bilinearità permette di sviluppare i prodotti come in algebra: per esempio $⟨ u + v, u + v ⟩ = ⟨ u, u ⟩ + 2 ⟨ u, v ⟩ + ⟨ v, v ⟩$ .

Prodotti scalari su uno spazio vettoriale

Su un qualunque spazio vettoriale reale $V$ si chiama prodotto scalare ogni funzione $⟨ \cdot, \cdot ⟩ : V \times V \to R$ simmetrica, bilineare e definita positiva. Un esempio su $M_{n} (R)$ è $⟨ A, B ⟩ = tr (A^{T} B)$ , che è la somma dei prodotti degli elementi di posto uguale. Le definizioni e i teoremi di questo argomento usano soltanto le tre proprietà, quindi valgono per ogni prodotto scalare; negli esercizi d’esame il prodotto scalare è quasi sempre quello standard di $R^{n}$ .

3. Norma e distanza

La norma di $v \in R^{n}$ è il numero

∥ v ∥ = ⟨ v, v ⟩ = v_{1}^{2} + \dots + v_{n}^{2},

e la distanza fra $u$ e $v$ è $d (u, v) = ∥ u - v ∥$ . Per la definita positività la norma è nulla solo per il vettore nullo; dalla bilinearità segue $∥ α v ∥ = ∣ α ∣ ∥ v ∥$ . Un vettore di norma $1$ si chiama versore: se $v \neq = 0$ , il vettore $\frac{v}{∥ v ∥}$ è un versore con la stessa direzione e lo stesso verso di $v$ , e il passaggio da $v$ al suo versore si chiama normalizzazione. Per $v = (1, 2, - 1)$ si ha $∥ v ∥ = 6$ , quindi il versore è $\frac{1}{6} (1, 2, - 1)$ .

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e angolo tra vettori

1. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

Per ogni $u, v \in R^{n}$ vale

∣ ⟨ u, v ⟩ ∣ \leq ∥ u ∥ ∥ v ∥,

e l’uguaglianza vale se e solo se $u$ e $v$ sono linearmente dipendenti. La disuguaglianza garantisce che, per $u$ e $v$ non nulli, il quoziente $\frac{⟨ u , v ⟩}{∥ u ∥ ∥ v ∥}$ sta in $[- 1, 1]$ , e su questo fatto si basa la definizione di angolo in $R^{n}$ .

Dimostrazione

Se $v = 0$ entrambi i membri sono nulli e i vettori sono dipendenti. Sia $v \neq = 0$ . Per ogni $t \in R$ la definita positività e la bilinearità danno

0 \leq ∥ u - t v ∥^{2} = ∥ v ∥^{2} t^{2} - 2 ⟨ u, v ⟩ t + ∥ u ∥^{2} .

Il secondo membro è un polinomio di secondo grado in $t$ con coefficiente direttore positivo che non assume valori negativi, quindi il suo discriminante è minore o uguale a zero:

4 ⟨ u, v ⟩^{2} - 4∥ u ∥^{2} ∥ v ∥^{2} \leq 0,

cioè $⟨ u, v ⟩^{2} \leq ∥ u ∥^{2} ∥ v ∥^{2}$ , da cui la tesi estraendo la radice. Il discriminante è nullo se e solo se il polinomio ha una radice $t_{0}$ , cioè se e solo se $∥ u - t_{0} v ∥ = 0$ ; per la definita positività questo equivale a $u = t_{0} v$ , cioè alla dipendenza lineare di $u$ e $v$ .

2. Disuguaglianza triangolare

Per ogni $u, v \in R^{n}$ vale $∥ u + v ∥ \leq ∥ u ∥ + ∥ v ∥$ . In termini di distanze, $d (u, w) \leq d (u, v) + d (v, w)$ per ogni $u, v, w$ : in un triangolo ogni lato è minore o uguale alla somma degli altri due.

Dimostrazione

Sviluppando con la bilinearità e applicando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz si ottiene

∥ u + v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + 2 ⟨ u, v ⟩ + ∥ v ∥^{2} \leq ∥ u ∥^{2} + 2∥ u ∥ ∥ v ∥ + ∥ v ∥^{2} = (∥ u ∥ + ∥ v ∥)^{2},

e la tesi segue estraendo la radice, poiché entrambi i membri sono non negativi.

3. Angolo tra due vettori

Siano $u, v \in R^{n}$ non nulli. L’angolo fra $u$ e $v$ è l’unico $θ \in [0, π]$ tale che

cos θ = \frac{⟨ u , v ⟩}{∥ u ∥ ∥ v ∥} .

La definizione ha senso per ogni $n$ grazie alla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, e in $R^{2}$ e $R^{3}$ restituisce l’angolo geometrico. Il segno del prodotto scalare dà il tipo di angolo: $θ$ è acuto se $⟨ u, v ⟩ > 0$ , retto se $⟨ u, v ⟩ = 0$ , ottuso se $⟨ u, v ⟩ < 0$ . Per $u = (3, 1)$ e $v = (1, 2)$ risulta $⟨ u, v ⟩ = 5$ , $∥ u ∥ = 10$ , $∥ v ∥ = 5$ , quindi $cos θ = \frac{5}{50} = \frac{1}{2}$ e $θ = \frac{π}{4}$ .

I vettori

u = (3, 1)

v = (1, 2)

formano l'angolo

θ = \frac{π}{4}

, poiché

cos θ = \frac{1}{2}

La teoria continua con 7 altri paragrafi (ortogonalità e basi ortonormali, proiezione ortogonale, il procedimento di gram schmidt…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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