Gli argomenti dell'esame

Algebra lineare e geometria analitica

Vettori, matrici e sistemi lineari, spazi vettoriali e applicazioni lineari, autovalori e diagonalizzazione, rette, piani, coniche e quadriche.

1. Vettori nel piano e nello spazio

   Che cos'è un vettore geometrico, come si opera con le componenti, come prodotto scalare, prodotto vettoriale e prodotto misto misurano angoli, aree e volumi e riconoscono ortogonalità, parallelismo e complanarità.

2. Matrici e operazioni tra matrici

   Le matrici e i loro tipi, somma, prodotto righe per colonne, trasposta e potenze, la matrice inversa, la riduzione a scala per righe e il calcolo dell'inversa con il metodo di Gauss-Jordan.

3. Determinante e matrice inversa

   Come si calcola il determinante di una matrice quadrata, quali proprietà permettono di semplificarne il calcolo e come il determinante decide l'invertibilità e fornisce la formula dell'inversa.

4. Sistemi lineari e rango

   Come si scrive un sistema lineare in forma matriciale, come si calcola il rango, quando un sistema ha soluzioni e quante, come si risolve con Gauss o con Cramer e come si discute al variare di un parametro.

5. Spazi vettoriali, basi e dimensione

   La struttura comune a vettori, matrici e polinomi, i sottospazi descritti con generatori o con equazioni, le basi, la dimensione e la formula di Grassmann per somma e intersezione.

6. Applicazioni lineari

   Le funzioni tra spazi vettoriali che conservano somme e prodotti per scalare, la matrice che le rappresenta, nucleo e immagine, il teorema della dimensione, gli isomorfismi, la composizione e il cambiamento di base.

7. Autovalori, autovettori e diagonalizzazione

   Come si calcolano autovalori e autospazi di una matrice o di un endomorfismo, quando una matrice è diagonalizzabile e come si costruisce la matrice diagonalizzante, con le applicazioni alle potenze e alle matrici con parametro.

8. Prodotto scalare, ortogonalità e teorema spettrale

   Il prodotto scalare standard, la norma e gli angoli, le basi ortonormali, le proiezioni ortogonali con il procedimento di Gram-Schmidt, le matrici ortogonali e la diagonalizzazione ortogonale delle matrici simmetriche.

9. Rette e piani nello spazio

   Equazioni di piani e rette nello spazio, posizioni reciproche, angoli, distanze, proiezioni ortogonali, fasci di piani e retta di minima distanza tra due rette sghembe.

10. Coniche e quadriche

    Come si scrive la matrice di una conica o di una quadrica, come si classifica con gli invarianti e come si riduce a forma canonica con una rotazione e una traslazione, usando autovalori e autovettori.