Teoria

Applicazioni lineari

Le funzioni tra spazi vettoriali che conservano somme e prodotti per scalare, la matrice che le rappresenta, nucleo e immagine, il teorema della dimensione, gli isomorfismi, la composizione e il cambiamento di base.

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Definizione ed esempi
Applicazioni definite sui vettori di una base

Definizione ed esempi

1. Applicazione lineare

Siano $V$ e $W$ spazi vettoriali reali. Una funzione $f : V \to W$ è un’applicazione lineare se per ogni $u, v \in V$ e per ogni $λ \in R$ le due condizioni sono soddisfatte insieme:

{f (u + v) = f (u) + f (v) f (λ v) = λ f (v)

Un’applicazione lineare di $V$ in sé stesso si chiama endomorfismo di $V$ . Le due condizioni equivalgono all’unica condizione $f (α u + β v) = α f (u) + β f (v)$ per ogni $u, v \in V$ e $α, β \in R$ ; per induzione, $f$ trasforma ogni combinazione lineare nella combinazione lineare delle immagini con gli stessi coefficienti. Su questa proprietà si basano la matrice associata e la costruzione di $f$ a partire dai valori su una base.

2. Prime proprietà

Sia $f : V \to W$ lineare. Allora $f (0_{V}) = 0_{W}$ e $f (- v) = - f (v)$ per ogni $v \in V$ . Infatti, ponendo $λ = 0$ nella seconda condizione si ottiene $f (0_{V}) = f (0 \cdot 0_{V}) = 0 \cdot f (0_{V}) = 0_{W}$ , e ponendo $λ = - 1$ si ottiene la seconda uguaglianza. La prima proprietà fornisce un controllo immediato, perché un’applicazione con $f (0_{V}) \neq = 0_{W}$ non è lineare.

Le applicazioni lineari dell'esame

Per ogni $A \in M_{m, n} (R)$ la funzione $f_{A} : R^{n} \to R^{m}$ , $f_{A} (x) = A x$ , è lineare, poiché il prodotto righe per colonne soddisfa $A (x + y) = A x + A y$ e $A (λ x) = λ A x$ . Sono di questo tipo tutte le funzioni come $f (x, y, z) = (x + 2 y, y - z)$ , in cui ogni componente è un polinomio di primo grado senza termine noto.
La derivata $D : R_{n} [x] \to R_{n - 1} [x]$ , $D (p) = p^{'}$ , è lineare, poiché la derivata di una somma è la somma delle derivate e le costanti moltiplicative si portano fuori.
La trasposizione $M_{n} (R) \to M_{n} (R)$ , $A \mapsto A^{T}$ , e la traccia $M_{n} (R) \to R$ , $A \mapsto tr A$ , sono lineari.
La rotazione di un angolo retto attorno all’origine, $R (x, y) = (- y, x)$ , è lineare. Ruotando il parallelogramma costruito su $u$ e $v$ si ottiene il parallelogramma costruito su $R (u)$ e $R (v)$ , quindi la diagonale $u + v$ va nella diagonale $R (u) + R (v)$ .

La rotazione

R (x, y) = (- y, x)

manda il parallelogramma costruito su

u = (2, 1)

v = (1, 2)

in quello costruito su

R (u)

R (v)

, perciò

R (u + v) = R (u) + R (v)

Attenzione

La condizione $f (0_{V}) = 0_{W}$ è necessaria e non sufficiente per la linearità.

$f (x, y) = (x + 1, y)$ non è lineare, poiché $f (0, 0) = (1, 0)$ .
$g (x, y) = (x y, x)$ verifica $g (0, 0) = (0, 0)$ e non è lineare, poiché $g (2, 2) = (4, 2)$ è diverso da $2 g (1, 1) = (2, 2)$ .

Per escludere la linearità basta un controesempio numerico; per dimostrarla servono le due condizioni con vettori e scalari generici.

Applicazioni definite sui vettori di una base

Esistenza e unicità sui vettori di una base

Sia $B = (v_{1}, \dots, v_{n})$ una base di $V$ e siano $w_{1}, \dots, w_{n}$ vettori qualsiasi di $W$ . Allora esiste una e una sola applicazione lineare $f : V \to W$ tale che $f (v_{i}) = w_{i}$ per $i = 1, \dots, n$ , ed è data da

f (a_{1} v_{1} + \dots + a_{n} v_{n}) = a_{1} w_{1} + \dots + a_{n} w_{n} .

Un’applicazione lineare è quindi determinata dai valori su una base, e questi valori si possono scegliere liberamente. Per calcolare $f (v)$ si scrive $v$ come combinazione dei vettori della base e si sostituisce ogni $v_{i}$ con $w_{i}$ .

Dimostrazione

Per l’unicità delle coordinate ogni $v \in V$ si scrive in un solo modo come $v = a_{1} v_{1} + \dots + a_{n} v_{n}$ , quindi la formula definisce una funzione $f : V \to W$ ; inoltre $f (v_{i}) = w_{i}$ , perché le coordinate di $v_{i}$ sono $1$ al posto $i$ e $0$ altrove. Se $u = b_{1} v_{1} + \dots + b_{n} v_{n}$ , allora $α u + β v = \sum_{i} (α b_{i} + β a_{i}) v_{i}$ , perciò

f (α u + β v) = i = 1 \sum n (α b_{i} + β a_{i}) w_{i} = α f (u) + β f (v),

cioè $f$ è lineare. Se $g$ è un’altra applicazione lineare con $g (v_{i}) = w_{i}$ , per la linearità $g (v) = \sum_{i} a_{i} g (v_{i}) = \sum_{i} a_{i} w_{i} = f (v)$ per ogni $v$ , quindi $g = f$ .

Un'applicazione assegnata su una base del piano

Si cerca $f : R^{2} \to R^{3}$ lineare con $f (1, 1) = (2, 0, 1)$ e $f (1, 2) = (1, 1, 0)$ . I vettori $(1, 1)$ e $(1, 2)$ formano una base di $R^{2}$ , poiché non sono proporzionali, quindi $f$ esiste ed è unica. Si scrive $(x, y) = a (1, 1) + b (1, 2)$ , cioè

{a + b = x a + 2 b = y ⟹ a = 2 x - y, b = y - x,

e per la linearità

f (x, y) = (2 x - y) (2, 0, 1) + (y - x) (1, 1, 0) = (3 x - y, - x + y, 2 x - y) .

Valori assegnati su vettori dipendenti

Se i valori sono assegnati su vettori $u_{1}, \dots, u_{k}$ linearmente dipendenti, ogni relazione tra i vettori deve valere anche tra i valori: per esempio, da $u_{3} = u_{1} + u_{2}$ segue che una $f$ lineare soddisfa $f (u_{3}) = f (u_{1}) + f (u_{2})$ . Se tutte le relazioni sono rispettate, $f$ esiste, ed è unica se e solo se $u_{1}, \dots, u_{k}$ generano $V$ ; se una relazione non è rispettata, $f$ non esiste. Non esiste, per esempio, un’applicazione lineare $f : R^{2} \to R^{2}$ con $f (1, 0) = (1, 1)$ , $f (0, 1) = (2, 0)$ e $f (1, 1) = (3, 2)$ , poiché da $(1, 1) = (1, 0) + (0, 1)$ seguirebbe $f (1, 1) = (3, 1)$ .

La teoria continua con 8 altri paragrafi (la matrice associata, nucleo e immagine, iniettività e suriettività…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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