Teoria

Autovalori, autovettori e diagonalizzazione

Come si calcolano autovalori e autospazi di una matrice o di un endomorfismo, quando una matrice è diagonalizzabile e come si costruisce la matrice diagonalizzante, con le applicazioni alle potenze e alle matrici con parametro.

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Autovalori e autovettori
Il polinomio caratteristico

Autovalori e autovettori

1. Autovalore e autovettore di un endomorfismo

Sia $V$ uno spazio vettoriale reale e sia $f : V \to V$ un’applicazione lineare, detta endomorfismo di $V$ . Un numero $λ \in R$ è un autovalore di $f$ se esiste un vettore $v \in V$ che soddisfa insieme le due condizioni

{v \neq = 0 f (v) = λ v

e ogni vettore $v$ con queste due proprietà si chiama autovettore di $f$ relativo all’autovalore $λ$ . Un autovettore è quindi un vettore non nullo che $f$ trasforma in un suo multiplo, perciò la retta $⟨ v ⟩$ viene mandata in sé. La condizione $v \neq = 0$ è necessaria nella definizione, poiché $f (0) = 0 = λ \cdot 0$ per ogni $λ$ ; l’autovalore invece può essere $0$ , e questo accade esattamente quando $ker f$ contiene vettori non nulli.

2. Autovalore e autovettore di una matrice

Sia $A \in M_{n} (R)$ . Un numero $λ \in R$ è un autovalore di $A$ se esiste un vettore colonna $v \in R^{n}$ , con $v \neq = 0$ , tale che $A v = λ v$ , e $v$ si chiama autovettore di $A$ relativo a $λ$ . È la definizione precedente applicata all’endomorfismo $v \mapsto A v$ di $R^{n}$ . Per verificare che un vettore assegnato è un autovettore si calcola $A v$ e si controlla che sia un multiplo di $v$ ; il coefficiente di proporzionalità è l’autovalore.

Esempio

Siano

A = (4213), v = (11), w = (10) .

Poiché $A v = (5, 5) = 5 v$ , il vettore $v$ è un autovettore di $A$ relativo all’autovalore $5$ . Invece $A w = (4, 2)$ non è multiplo di $w$ , perché la seconda componente di $w$ è nulla e quella di $A w$ no, quindi $w$ non è un autovettore.

A v = 5 v

resta sulla retta di

v

(tratteggiata): la direzione di

v

è invariante;

A w = (4, 2)

esce dalla retta di

w

, l'asse

x

Il polinomio caratteristico

1. Polinomio caratteristico

Sia $A \in M_{n} (R)$ . Il polinomio caratteristico di $A$ è

p_{A} (λ) = det (A - λ I_{n}),

un polinomio di grado $n$ nella variabile $λ$ , con coefficiente direttivo $(- 1)^{n}$ . Si ottiene sottraendo $λ$ a ogni elemento della diagonale principale e calcolando il determinante con le regole dell’argomento sui determinanti. Per $A = (4213)$ risulta $p_{A} (λ) = (4 - λ) (3 - λ) - 2 = λ^{2} - 7 λ + 10$ .

2. Autovalori come radici del polinomio caratteristico

Sia $A \in M_{n} (R)$ e sia $λ_{0} \in R$ . Allora $λ_{0}$ è un autovalore di $A$ se e solo se

p_{A} (λ_{0}) = det (A - λ_{0} I_{n}) = 0.

Il teorema riduce la ricerca degli autovalori alla risoluzione di un’equazione polinomiale di grado $n$ . Per la matrice dell’esempio precedente $λ^{2} - 7 λ + 10 = (λ - 2) (λ - 5)$ , quindi gli autovalori sono $2$ e $5$ . Una matrice di ordine $n$ ha al più $n$ autovalori distinti, perché un polinomio di grado $n$ ha al più $n$ radici.

Dimostrazione

L’uguaglianza $A v = λ_{0} v$ equivale a $A v - λ_{0} I_{n} v = 0$ , cioè a $(A - λ_{0} I_{n}) v = 0$ . Quindi $λ_{0}$ è un autovalore se e solo se il sistema lineare omogeneo $(A - λ_{0} I_{n}) v = 0$ ha una soluzione $v \neq = 0$ . Poiché la matrice dei coefficienti è quadrata, per il criterio richiamato sotto questo accade se e solo se $det (A - λ_{0} I_{n}) = 0$ .

Matrici triangolari e sviluppo lungo una riga

Se $A$ è triangolare, in particolare diagonale, anche $A - λ I_{n}$ è triangolare, e il suo determinante è il prodotto degli elementi diagonali:

p_{A} (λ) = (a_{11} - λ) (a_{22} - λ) \dots (a_{nn} - λ) .

Gli autovalori di una matrice triangolare sono quindi i suoi elementi diagonali, ciascuno contato tante volte quante compare. Per $(2012)$ l’unico autovalore è $2$ , con $p_{A} (λ) = (2 - λ)^{2}$ . Quando la matrice non è triangolare ma ha una riga o una colonna in cui tutti gli elementi fuori dalla diagonale sono nulli, conviene calcolare $det (A - λ I_{n})$ con lo sviluppo di Laplace lungo quella riga o colonna, poiché il polinomio si ottiene già in parte fattorizzato.

3. Traccia, determinante e autovalori

Sia $A \in M_{n} (R)$ . Il termine noto di $p_{A}$ è $p_{A} (0) = det A$ e il coefficiente di $λ^{n - 1}$ è $(- 1)^{n - 1} tr A$ . Per $n = 2$ si ha quindi

p_{A} (λ) = λ^{2} - (tr A) λ + det A .

Se $p_{A}$ ha $n$ radici reali $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ , contate con la loro molteplicità, allora

tr A det A = λ_{1} + λ_{2} + \dots + λ_{n} = λ_{1} λ_{2} \dots λ_{n} .

La prima affermazione segue ponendo $λ = 0$ e osservando che nello sviluppo di $det (A - λ I_{n})$ le potenze $λ^{n}$ e $λ^{n - 1}$ provengono solo dal prodotto degli elementi diagonali; la seconda segue confrontando i coefficienti con $p_{A} (λ) = (λ_{1} - λ) \dots (λ_{n} - λ)$ . Le due uguaglianze servono da controllo dei calcoli: per $(4213)$ si ha $tr A = 7 = 2 + 5$ e $det A = 10 = 2 \cdot 5$ . Poiché $det A = p_{A} (0)$ , la matrice $A$ è invertibile se e solo se $0$ non è un autovalore di $A$ .

La teoria continua con 7 altri paragrafi (matrici simili ed endomorfismi, autospazi, molteplicità algebrica e geometrica…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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