Teoria

Vettori nel piano e nello spazio

Che cos'è un vettore geometrico, come si opera con le componenti, come prodotto scalare, prodotto vettoriale e prodotto misto misurano angoli, aree e volumi e riconoscono ortogonalità, parallelismo e complanarità.

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Vettori geometrici e operazioni
Componenti in un riferimento cartesiano

Vettori geometrici e operazioni

1. Vettore geometrico

Un segmento orientato $A B$ è un segmento con un primo estremo $A$ (la coda) e un secondo estremo $B$ (la punta). Due segmenti orientati si dicono equipollenti se hanno la stessa lunghezza, la stessa direzione (cioè giacciono su rette parallele) e lo stesso verso. Un vettore geometrico è la classe di tutti i segmenti orientati equipollenti a uno dato; il vettore individuato da $A B$ si indica con $A B$ , un vettore generico con $v$ .

Un vettore ha quindi tre attributi: lunghezza, direzione e verso. Il punto di partenza è libero, poiché dati un punto $P$ e un vettore $v$ esiste un solo punto $Q$ tale che $P Q = v$ ; si dice allora che $v$ è applicato in $P$ . Il vettore nullo $0$ è rappresentato dai segmenti con coda e punta coincidenti, $0 = AA$ ; ha lunghezza zero e direzione non definita.

2. Somma di vettori

Siano $v$ e $w$ due vettori. Si applica $v$ in un punto $A$ , ottenendo $v = A B$ , e si applica $w$ nella punta $B$ , ottenendo $w = B C$ . La somma è

v + w = A C .

È la regola punta-coda; quando $v$ e $w$ sono applicati nello stesso punto e non sono paralleli, $v + w$ è la diagonale del parallelogramma che ha i due vettori come lati (regola del parallelogramma). In fisica la somma di vettori descrive la composizione di spostamenti e di forze.

Regola del parallelogramma:

u + v

è la diagonale del parallelogramma di lati

u

v

3. Prodotto per uno scalare

Siano $λ \in R$ e $v$ un vettore. Il vettore $λ v$ ha lunghezza uguale a $∣ λ ∣$ volte la lunghezza di $v$ , la stessa direzione di $v$ , lo stesso verso se $λ > 0$ e verso opposto se $λ < 0$ ; se $λ = 0$ oppure $v = 0$ , si pone $λ v = 0$ . Il vettore $(- 1) v$ si indica con $- v$ ed è l’opposto di $v$ ; la differenza è $v - w = v + (- w)$ . Se $v = A B$ e $w = A C$ , allora $v - w = C B$ , cioè la differenza è il vettore che va dalla punta di $w$ alla punta di $v$ .

La differenza

v - w

va dalla punta di

w

alla punta di

v

, perché

w + (v - w) = v

Proprietà delle operazioni

Per ogni terna di vettori $u, v, w$ e per ogni $λ, μ \in R$ valgono le proprietà seguenti.

Commutativa e associativa della somma: $v + w = w + v$ e $(u + v) + w = u + (v + w)$ .
Elemento neutro e opposto: $v + 0 = v$ e $v + (- v) = 0$ .
Distributive: $λ (v + w) = λ v + λ w$ e $(λ + μ) v = λ v + μ v$ .
Associativa mista e unità: $λ (μ v) = (λ μ) v$ e $1 v = v$ .

Sono le stesse proprietà che definiscono uno spazio vettoriale, e si rimanda all’argomento sugli spazi vettoriali per la teoria generale.

Componenti in un riferimento cartesiano

1. Componenti di un vettore

Si fissa nello spazio un riferimento cartesiano ortogonale $O x y z$ e si indicano con $i$ , $j$ , $k$ i vettori di lunghezza $1$ orientati come i tre assi. Ogni vettore $v$ , applicato nell’origine, ha la punta in un solo punto $P = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ , e risulta

v = O P = v_{1} i + v_{2} j + v_{3} k .

I numeri $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ sono le componenti di $v$ e si scrive $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ . In questo modo i vettori dello spazio corrispondono alle terne di $R^{3}$ , e i vettori del piano, con un riferimento $O x y$ , alle coppie di $R^{2}$ . In particolare $i = (1, 0, 0)$ , $j = (0, 1, 0)$ , $k = (0, 0, 1)$ e $0 = (0, 0, 0)$ .

Nel piano

v = O P = 3 i + 2 j

, quindi

v = (3, 2)

2. Operazioni in componenti

Siano $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ , $w = (w_{1}, w_{2}, w_{3})$ e $λ \in R$ . Allora

v + w = (v_{1} + w_{1}, v_{2} + w_{2}, v_{3} + w_{3}), λ v = (λ v_{1}, λ v_{2}, λ v_{3}) .

La formula segue dalle proprietà delle operazioni: sommando $v_{1} i + v_{2} j + v_{3} k$ e $w_{1} i + w_{2} j + w_{3} k$ e raccogliendo $i$ , $j$ , $k$ si ottengono le componenti della somma, e lo stesso vale per il prodotto per $λ$ . Le operazioni geometriche diventano così calcoli sui numeri; per $v = (1, 2, - 1)$ e $w = (3, 0, 2)$ si ha $2 v - w = (2 - 3, 4 - 0, - 2 - 2) = (- 1, 4, - 4)$ .

3. Vettore tra due punti e punto medio

Siano $A = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ e $B = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ . Allora

A B = (b_{1} - a_{1}, b_{2} - a_{2}, b_{3} - a_{3}),

e il punto medio del segmento $A B$ è

M = (\frac{a _{1} + b _{1}}{2}, \frac{a _{2} + b _{2}}{2}, \frac{a _{3} + b _{3}}{2}) .

Per la regola punta-coda $O A + A B = O B$ , quindi $A B = O B - O A$ , che in componenti è la prima formula. Il punto medio soddisfa $A M = \frac{1}{2} A B$ , perciò $O M = O A + \frac{1}{2} (O B - O A) = \frac{1}{2} (O A + O B)$ . Con lo stesso ragionamento il punto $P$ tale che $A P = t A B$ ha coordinate $A + t (B - A)$ ; per $t \in [0, 1]$ il punto $P$ descrive il segmento $A B$ , per $t \in R$ la retta $A B$ .

4. Combinazione lineare

Dati i vettori $v_{1}, \dots, v_{k}$ e i numeri reali $λ_{1}, \dots, λ_{k}$ , il vettore

λ_{1} v_{1} + λ_{2} v_{2} + \dots + λ_{k} v_{k}

è una combinazione lineare di $v_{1}, \dots, v_{k}$ con coefficienti $λ_{1}, \dots, λ_{k}$ . Scrivere un vettore come combinazione lineare di vettori assegnati significa trovare i coefficienti, e uguagliando le componenti si ottiene un sistema lineare. La scrittura $v = v_{1} i + v_{2} j + v_{3} k$ è la combinazione lineare dei tre versori degli assi con coefficienti uguali alle componenti.

Coefficienti di una combinazione

Nel piano si cerca di scrivere $w = (5, 1)$ come combinazione di $u = (1, 1)$ e $v = (1, - 1)$ . L’uguaglianza $α u + β v = w$ , letta componente per componente, è il sistema

{α + β = 5 α - β = 1

che ha l’unica soluzione $α = 3$ , $β = 2$ , quindi $w = 3 u + 2 v$ .

w = (5, 1)

si ottiene sommando con la regola punta-coda

3 u

2 v

La teoria continua con 6 altri paragrafi (modulo distanza e versori, prodotto scalare e angolo tra vettori, ortogonalità e proiezione ortogonale…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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