Teoria

Coniche e quadriche

Come si scrive la matrice di una conica o di una quadrica, come si classifica con gli invarianti e come si riduce a forma canonica con una rotazione e una traslazione, usando autovalori e autovettori.

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Ellisse, iperbole e parabola
La matrice associata a una conica

Ellisse, iperbole e parabola

Conica

Una conica è l’insieme dei punti $(x, y)$ del piano che soddisfano un’equazione di secondo grado

a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + a_{22} y^{2} + 2 a_{13} x + 2 a_{23} y + a_{33} = 0,

con i coefficienti reali e $a_{11}$ , $a_{12}$ , $a_{22}$ non tutti nulli. I fattori $2$ davanti ai termini misti e lineari servono a scrivere la matrice associata senza frazioni. Lo scopo dell’argomento è riconoscere dall’equazione quale curva si ha davanti e dove si trova, riportandola a una delle forme canoniche seguenti con un cambiamento di coordinate.

Le forme canoniche

Le coniche non degeneri, in un riferimento opportuno, hanno una delle equazioni seguenti, già note dalla geometria analitica della scuola.

Ellisse: $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ con $a \geq b > 0$ ; è il luogo dei punti con somma delle distanze dai fuochi $(\pm c, 0)$ uguale a $2 a$ , dove $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ . I numeri $a$ e $b$ sono i semiassi; per $a = b$ si ottiene la circonferenza.
Iperbole: $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ con $a, b > 0$ ; è il luogo dei punti con differenza delle distanze dai fuochi $(\pm c, 0)$ uguale a $2 a$ in valore assoluto, dove $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Gli asintoti sono le rette $y = \pm \frac{b}{a} x$ .
Parabola: $y^{2} = 2 p x$ con $p > 0$ ; è il luogo dei punti equidistanti dal fuoco $(\frac{p}{2}, 0)$ e dalla direttrice $x = - \frac{p}{2}$ .

In forma canonica gli assi coordinati sono assi di simmetria della curva e, per ellisse e iperbole, l’origine è centro di simmetria.

L'ellisse

\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} = 1

, con semiassi

3

2

e fuochi

(\pm 5, 0)

L'iperbole

\frac{x ^{2}}{4} - y^{2} = 1

, con fuochi

(\pm 5, 0)

e asintoti

y = \pm \frac{x}{2}

(tratteggiati)

La parabola

y^{2} = 4 x

, cioè

p = 2

: fuoco

(1, 0)

e direttrice

x = - 1

(tratteggiata)

La matrice associata a una conica

Matrice associata a una conica

La matrice associata alla conica di equazione $a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + a_{22} y^{2} + 2 a_{13} x + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$ è la matrice simmetrica di ordine $3$

A = a_{11} a_{12} a_{13} a_{12} a_{22} a_{23} a_{13} a_{23} a_{33}, A_{0} = (a_{11} a_{12} a_{12} a_{22}),

dove $A_{0}$ è il blocco $2 \times 2$ in alto a sinistra, che contiene i soli termini di secondo grado. Con il prodotto righe per colonne l’equazione della conica si scrive

(x y 1) A x y 1 = 0,

e questa scrittura permette di trattare i cambiamenti di coordinate come prodotti di matrici. Nella matrice compaiono le metà dei coefficienti di $x y$ , di $x$ e di $y$ .

Esempio

Per la conica $2 x^{2} - 4 x y + 5 y^{2} + 2 x - 6 y + 1 = 0$ si ha $a_{12} = - 2$ , $a_{13} = 1$ , $a_{23} = - 3$ , quindi

A = 2 - 2 1 - 2 5 - 3 1 - 3 1, A_{0} = (2 - 2 - 2 5) .

Lo sviluppo del prodotto $(x y 1) A (x y 1)^{T}$ restituisce l’equazione di partenza, e questo è il controllo più rapido sulla matrice scritta.

La teoria continua con 8 altri paragrafi (rototraslazioni e invarianti, riduzione a forma canonica, classificazione delle coniche…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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