Sistemi lineari e rango

1. Sistema lineare

Un sistema lineare di $m$ equazioni in $n$ incognite $x_1,\dots ,x_n$ è un insieme di equazioni da soddisfare simultaneamente

con coefficienti $a_{ij}\in \mathbb{R}$ e termini noti $b_i\in \mathbb{R}$. Una soluzione è una $n$-upla $(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n$ che soddisfa tutte le $m$ equazioni, e risolvere il sistema significa determinare l’insieme di tutte le soluzioni. Le equazioni sono lineari perché le incognite compaiono solo al primo grado e non sono moltiplicate tra loro.

2. Sistema compatibile e incompatibile

Un sistema lineare si dice

• compatibile se ammette almeno una soluzione, incompatibile se non ne ammette;
• determinato se è compatibile con una sola soluzione, indeterminato se è compatibile con più di una soluzione.

Il sistema formato da $x+y=1$ e $x+y=3$ è incompatibile, perché la stessa quantità $x+y$ non può valere $1$ e $3$. Un sistema indeterminato ha sempre infinite soluzioni, come segue dal teorema di Rouché-Capelli; di conseguenza un sistema lineare con esattamente due soluzioni non esiste.

3. Forma matriciale

Il sistema si scrive in forma compatta come

dove $A$ è la matrice dei coefficienti e il prodotto è quello righe per colonne, per il quale si rimanda all’argomento sulle matrici. La matrice completa $(A\mid b)\in M_{m,n+1}(\mathbb{R})$ si ottiene affiancando ad $A$ la colonna dei termini noti. La riga $i$ della matrice completa contiene tutta l’informazione dell’equazione $i$, perciò ogni operazione sulle equazioni si traduce in un’operazione sulle righe di $(A\mid b)$.