Teoria

Spazi vettoriali, basi e dimensione

La struttura comune a vettori, matrici e polinomi, i sottospazi descritti con generatori o con equazioni, le basi, la dimensione e la formula di Grassmann per somma e intersezione.

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Spazi vettoriali
Sottospazi vettoriali

Spazi vettoriali

Spazio vettoriale reale

Uno spazio vettoriale reale è un insieme $V$ dotato di due operazioni, la somma $V \times V \to V$ , $(u, v) \mapsto u + v$ , e il prodotto per scalare $R \times V \to V$ , $(λ, v) \mapsto λ v$ , tali che per ogni $u, v, w \in V$ e ogni $λ, μ \in R$ valgano le proprietà seguenti.

Somma associativa e commutativa: $(u + v) + w = u + (v + w)$ e $u + v = v + u$ .
Esiste un vettore nullo $0 \in V$ con $v + 0 = v$ per ogni $v$ .
Ogni $v$ ha un opposto $- v$ con $v + (- v) = 0$ .
Distributività: $λ (u + v) = λ u + λ v$ e $(λ + μ) v = λ v + μv$ .
Compatibilità: $λ (μv) = (λ μ) v$ e $1 \cdot v = v$ .

Gli elementi di $V$ si chiamano vettori, i numeri reali scalari. La definizione raccoglie le sole regole di calcolo che servono per parlare di combinazioni lineari, basi e dimensione; perciò ogni risultato dimostrato a partire da esse vale insieme per le $n$ -uple, per le matrici e per i polinomi.

Gli spazi vettoriali dell'esame

$R^{n}$ , con somma e prodotto per scalare componente per componente: $(1, 2, 0) + 3 (0, 1, 1) = (1, 5, 3)$ .
$M_{m, n} (R)$ , le matrici $m \times n$ con la somma e il prodotto per scalare elemento per elemento; il vettore nullo è la matrice nulla.
$R_{n} [x]$ , i polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a $n$ , compreso il polinomio nullo, con le operazioni usuali sui polinomi.

Per $R_{n} [x]$ la condizione sul grado è scritta come disuguaglianza perché i polinomi di grado esattamente $2$ non formano uno spazio vettoriale: la somma $(x^{2} + x) + (- x^{2}) = x$ ha grado $1$ .

Regole di calcolo

Dagli assiomi seguono le regole $0 \cdot v = 0$ , $λ \cdot 0 = 0$ e $(- 1) v = - v$ . Per la prima si scrive $0 \cdot v = (0 + 0) v = 0 \cdot v + 0 \cdot v$ ; sommando a entrambi i membri l’opposto di $0 \cdot v$ si ottiene $0 = 0 \cdot v$ . Vale inoltre la legge di annullamento: se $λ v = 0$ , allora $λ = 0$ oppure $v = 0$ . Queste regole si usano in tutti i calcoli successivi senza citarle.

Sottospazi vettoriali

1. Sottospazio vettoriale

Un sottoinsieme $W \subseteq V$ è un sottospazio vettoriale di $V$ se è a sua volta uno spazio vettoriale con le operazioni di $V$ . Ogni spazio $V$ contiene i sottospazi banali ${0}$ e $V$ . In $R^{2}$ gli altri sottospazi sono le rette per l’origine, in $R^{3}$ le rette e i piani per l’origine, come mostrerà il calcolo della dimensione.

2. Criterio di sottospazio

Sia $V$ uno spazio vettoriale e sia $W \subseteq V$ . Allora $W$ è un sottospazio di $V$ se e solo se le tre condizioni seguenti sono soddisfatte insieme:

⎩ ⎨ ⎧ 0 \in W u + v \in W per ogni u, v \in W λ u \in W per ogni u \in W, λ \in R

Il criterio riduce la verifica degli assiomi a tre controlli. Per escludere che $W$ sia un sottospazio è sufficiente un controesempio a una delle tre condizioni, e la più rapida da controllare è $0 \in W$ .

Dimostrazione

Se $W$ è un sottospazio, la somma e il prodotto per scalare di elementi di $W$ stanno in $W$ per definizione, e $0 \in W$ poiché per ogni $u \in W$ si ha $0 = 0 \cdot u \in W$ . Viceversa, se le tre condizioni sono soddisfatte, le due operazioni di $V$ restano operazioni su $W$ . Le proprietà associativa, commutativa, distributiva e di compatibilità valgono in $W$ perché valgono in $V$ ; il vettore nullo sta in $W$ per la prima condizione, e l’opposto di $u \in W$ è $- u = (- 1) u$ , che sta in $W$ per la terza. Quindi $W$ è uno spazio vettoriale.

Un piano per l'origine

$W = {(x, y, z) \in R^{3} : x + y - 2 z = 0}$ . Il vettore nullo soddisfa l’equazione. Se $u = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ e $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ stanno in $W$ , allora

(u_{1} + v_{1}) + (u_{2} + v_{2}) - 2 (u_{3} + v_{3}) = (u_{1} + u_{2} - 2 u_{3}) + (v_{1} + v_{2} - 2 v_{3}) = 0 + 0 = 0,

quindi $u + v \in W$ ; allo stesso modo $λ u_{1} + λ u_{2} - 2 λ u_{3} = λ \cdot 0 = 0$ , quindi $λ u \in W$ . Per il criterio di sottospazio, $W$ è un sottospazio di $R^{3}$ .

Equazioni omogenee e non omogenee

Il ragionamento dell’esempio vale per ogni sistema lineare omogeneo: l’insieme delle soluzioni di $A x = 0$ , con $A \in M_{m, n} (R)$ , è un sottospazio di $R^{n}$ , poiché $A 0 = 0$ , $A (u + v) = A u + A v$ e $A (λ u) = λ A u$ . L’insieme delle soluzioni di un sistema $A x = b$ con $b \neq = 0$ non è un sottospazio, perché il vettore nullo non lo soddisfa. Nel piano la retta $x - 2 y = 0$ è un sottospazio, mentre la retta parallela $x - 2 y = - 2$ non contiene l’origine.

y = \dfrac{x}{2}

y = \dfrac{x}{2} + 1

La retta

x - 2 y = 0

passa per l'origine ed è un sottospazio di

R^{2}

; la retta parallela

x - 2 y = - 2

(tratteggiata) non contiene il vettore nullo

Attenzione

Un sottoinsieme può contenere il vettore nullo ed essere chiuso rispetto al prodotto per scalare senza essere un sottospazio. L’unione dei due assi di $R^{2}$ , cioè ${(x, y) : x y = 0}$ , contiene $(1, 0)$ e $(0, 1)$ , mentre la loro somma $(1, 1)$ non soddisfa $x y = 0$ . Le tre condizioni del criterio vanno verificate tutte.

L'insieme

x y = 0

(in colore) è l'unione dei due assi: contiene

u = (1, 0)

v = (0, 1)

, e non contiene la somma

u + v = (1, 1)

La teoria continua con 8 altri paragrafi (combinazioni lineari e generatori, dipendenza e indipendenza lineare, basi e coordinate…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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