Teoria

Rette e piani nello spazio

Equazioni di piani e rette nello spazio, posizioni reciproche, angoli, distanze, proiezioni ortogonali, fasci di piani e retta di minima distanza tra due rette sghembe.

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Il piano: equazione cartesiana e vettore normale
La retta: equazioni parametriche e cartesiane

Il piano: equazione cartesiana e vettore normale

1. Piano per un punto ortogonale a un vettore

Siano $P_{0}$ un punto dello spazio e $n$ un vettore non nullo. Il piano per $P_{0}$ ortogonale a $n$ è l’insieme dei punti $P$ per cui il vettore $P_{0} P$ è ortogonale a $n$ :

π = {P : n \cdot P_{0} P = 0} .

Il vettore $n$ si chiama vettore normale al piano. Un piano è quindi individuato da un punto e da una direzione ortogonale; poiché la condizione $n \cdot P_{0} P = 0$ non cambia se si moltiplica $n$ per un numero non nullo, il vettore normale è definito a meno di un fattore. Per il prodotto scalare e l’ortogonalità si rimanda all’argomento sui vettori.

Sezione con il piano

y = 0

del piano

π : x + z = 2

, di vettore normale

n = (1, 0, 1)

: il vettore

P_{0} P

con

P \in π

è ortogonale a

n

, mentre per il punto

Q

fuori dal piano

n \cdot P_{0} Q \neq = 0

2. Equazione cartesiana del piano

Ogni piano dello spazio è l’insieme delle soluzioni di un’equazione

a x + b y + cz + d = 0 con (a, b, c) \neq = (0, 0, 0),

e il vettore $(a, b, c)$ è normale al piano. Viceversa, ogni equazione di questo tipo rappresenta un piano con vettore normale $(a, b, c)$ . Dall’equazione si leggono quindi le componenti di un vettore normale, e per scrivere l’equazione bastano un punto e un vettore normale. Il piano per $P_{0} = (1, 2, - 1)$ con $n = (2, - 1, 3)$ ha equazione $2 (x - 1) - (y - 2) + 3 (z + 1) = 0$ , cioè $2 x - y + 3 z + 3 = 0$ .

Dimostrazione

Sia $π$ il piano per $P_{0} = (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ortogonale a $n = (a, b, c)$ . Scrivendo il prodotto scalare in componenti, la condizione $n \cdot P_{0} P = 0$ diventa

a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0,

cioè $a x + b y + cz + d = 0$ con $d = - (a x_{0} + b y_{0} + c z_{0})$ . Viceversa, sia data l’equazione con $(a, b, c) \neq = (0, 0, 0)$ e sia, per esempio, $a \neq = 0$ . Il punto $P_{0} = (- \frac{d}{a}, 0, 0)$ soddisfa l’equazione, quindi $d = - (a x_{0} + b y_{0} + c z_{0})$ con $(x_{0}, y_{0}, z_{0}) = P_{0}$ . Sostituendo questa espressione di $d$ , l’equazione diventa $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ , che è la condizione $n \cdot P_{0} P = 0$ ; perciò le soluzioni formano il piano per $P_{0}$ ortogonale a $(a, b, c)$ . Se $a = 0$ si ragiona allo stesso modo con il coefficiente non nullo tra $b$ e $c$ .

Piano per tre punti

Tre punti $A$ , $B$ , $C$ non allineati individuano un unico piano. I vettori $A B$ e $A C$ sono paralleli al piano e non sono paralleli tra loro, quindi il loro prodotto vettoriale è un vettore normale:

n = A B \times A C .

In modo equivalente, il punto $P = (x, y, z)$ sta nel piano se e solo se i vettori $A P$ , $A B$ , $A C$ sono complanari, cioè se e solo se il loro prodotto misto è nullo:

x - x_{A} x_{B} - x_{A} x_{C} - x_{A} y - y_{A} y_{B} - y_{A} y_{C} - y_{A} z - z_{A} z_{B} - z_{A} z_{C} - z_{A} = 0.

Per $A = (1, 0, 0)$ , $B = (0, 2, 0)$ , $C = (0, 0, 3)$ si ha $A B \times A C = (- 1, 2, 0) \times (- 1, 0, 3) = (6, 3, 2)$ , quindi il piano è $6 x + 3 y + 2 z - 6 = 0$ . Dividendo per $6$ si ottiene $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$ , forma in cui si leggono le intersezioni del piano con i tre assi.

3. Equazioni parametriche del piano

Siano $P_{0}$ un punto e $u$ , $w$ due vettori non paralleli. Il piano per $P_{0}$ parallelo a $u$ e a $w$ è descritto dalle equazioni parametriche

P = P_{0} + s u + t w, s, t \in R .

Il passaggio alla forma cartesiana richiede un vettore normale, che è $n = u \times w$ . Il passaggio inverso consiste nel risolvere l’equazione cartesiana, che ha due incognite libere. Per il piano $x + y - z = 1$ si pone $y = s$ , $z = t$ e si ricava $x = 1 - s + t$ , quindi $P = (1, 0, 0) + s (- 1, 1, 0) + t (1, 0, 1)$ .

La retta: equazioni parametriche e cartesiane

1. Equazioni parametriche della retta

Siano $P_{0} = (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ un punto e $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ un vettore non nullo. La retta per $P_{0}$ parallela a $v$ è l’insieme dei punti $P = P_{0} + t v$ al variare di $t \in R$ , cioè dei punti le cui coordinate soddisfano

⎩ ⎨ ⎧ x = x_{0} + v_{1} t y = y_{0} + v_{2} t z = z_{0} + v_{3} t t \in R .

Il vettore $v$ si chiama vettore direttore della retta e le sue componenti si chiamano parametri direttori; come il vettore normale di un piano, il vettore direttore è definito a meno di un fattore non nullo. La retta per due punti distinti $A$ e $B$ ha vettore direttore $A B$ .

Esempio

La retta per $A = (1, - 1, 2)$ con vettore direttore $v = (2, 1, - 3)$ ha equazioni parametriche $x = 1 + 2 t$ , $y = - 1 + t$ , $z = 2 - 3 t$ . Il punto $(5, 1, - 4)$ appartiene alla retta, perché si ottiene per $t = 2$ . Il punto $(3, 0, 0)$ non appartiene alla retta, perché le prime due equazioni danno $t = 1$ mentre la terza dà $t = \frac{2}{3}$ .

2. Equazioni cartesiane della retta

Una retta è l’intersezione di due piani non paralleli, quindi si descrive con il sistema

{a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z + d_{1} = 0 a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z + d_{2} = 0 con rk (a_{1} a_{2} b_{1} b_{2} c_{1} c_{2}) = 2.

Le due equazioni si chiamano equazioni cartesiane della retta. La condizione sul rango dice che i vettori normali $n_{1}$ e $n_{2}$ non sono paralleli; per il teorema di Rouché-Capelli il sistema ha allora $\infty^{1}$ soluzioni, che formano una retta. Le equazioni cartesiane di una retta non sono uniche, perché qualsiasi coppia di piani distinti che la contengono la rappresenta; l’insieme di tutti questi piani è il fascio di piani che ha la retta come asse.

Passaggio tra le due forme

Dalle parametriche alle cartesiane: si ricava $t$ da un’equazione in cui il suo coefficiente è diverso da zero e lo si sostituisce nelle altre due. Per la retta dell’esempio precedente, da $t = y + 1$ seguono $x = 2 y + 3$ e $z = - 3 y - 1$ , quindi le equazioni cartesiane sono

{x - 2 y - 3 = 0 3 y + z + 1 = 0

Dalle cartesiane alle parametriche: si risolve il sistema scegliendo come parametro un’incognita libera, oppure si calcolano un punto e un vettore direttore. La retta giace in entrambi i piani, quindi il suo vettore direttore è ortogonale a $n_{1}$ e a $n_{2}$ , e si può prendere

v = n_{1} \times n_{2} .

Per la retta di equazioni $x + y - z = 1$ e $2 x - y + z = 2$ si ottiene $v = (1, 1, - 1) \times (2, - 1, 1) = (0, - 3, - 3)$ , parallelo a $(0, 1, 1)$ . Sommando le due equazioni si ha $3 x = 3$ , quindi $x = 1$ e $y = z$ ; un punto della retta è $(1, 0, 0)$ e le equazioni parametriche sono $x = 1$ , $y = t$ , $z = t$ .

La teoria continua con 7 altri paragrafi (posizioni reciproche di due piani e di una retta e un piano, posizioni reciproche di due rette, angoli tra rette e piani…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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