Matrici e operazioni tra matrici

1. Matrice

Siano $m,n$ interi positivi. Una matrice $m\times n$ a coefficienti reali è una tabella di $mn$ numeri reali disposti su $m$ righe e $n$ colonne:

Il numero $a_{ij}$ è l’elemento di posto $(i,j)$; il primo indice indica la riga e il secondo la colonna. Si scrive in breve $A=(a_{ij})$, e l’insieme delle matrici $m\times n$ si indica con $M_{m,n}(\mathbb{R})$. Due matrici sono uguali se hanno le stesse dimensioni e gli elementi di ugual posto coincidono, quindi un’uguaglianza tra matrici $m\times n$ equivale a $mn$ uguaglianze tra numeri. Le matrici raccolgono in un unico oggetto i coefficienti di un sistema lineare, di un’applicazione lineare o di una forma quadratica, e le operazioni tra matrici traducono le operazioni su questi oggetti.

2. Matrici quadrate, vettori riga e vettori colonna

• Una matrice con $m=n$ si dice quadrata di ordine $n$; l’insieme delle matrici quadrate di ordine $n$ si indica con $M_n(\mathbb{R})$.
• In una matrice quadrata gli elementi $a_{11},a_{22},\dots ,a_{nn}$ formano la diagonale principale. La loro somma è la traccia, $\mathrm{tr}A=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}$.
• Una matrice $1\times n$ è un vettore riga; una matrice $m\times 1$ è un vettore colonna. Nei calcoli matriciali i vettori di ${\mathbb{R}}^n$ si scrivono in colonna.
• La matrice nulla $O$ ha tutti gli elementi uguali a $0$.

Per $A=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ -1& 3\end{array}\right)$ la diagonale principale è formata da $2$ e $3$, quindi $\mathrm{tr}A=5$.

1. Matrici diagonali, triangolari e identità

Sia $A=(a_{ij})\in M_n(\mathbb{R})$.

• $A$ è triangolare superiore se $a_{ij}=0$ per $i>j$, cioè se gli elementi sotto la diagonale principale sono nulli.
• $A$ è triangolare inferiore se $a_{ij}=0$ per $i<j$, cioè se gli elementi sopra la diagonale principale sono nulli.
• $A$ è diagonale se $a_{ij}=0$ per $i\ne j$; si scrive $A=\mathrm{diag}(a_{11},\dots ,a_{nn})$.
• La matrice identità $I_n$ è la matrice diagonale con tutti gli elementi diagonali uguali a $1$.

Una matrice diagonale è insieme triangolare superiore e inferiore. Il prodotto di due matrici triangolari superiori dello stesso ordine è triangolare superiore, e lo stesso vale per le diagonali. Su queste classi i calcoli si semplificano: la riduzione a scala produce matrici triangolari superiori, e le potenze di una matrice diagonale si calcolano elemento per elemento.

2. Matrici simmetriche e antisimmetriche

Una matrice $A=(a_{ij})\in M_n(\mathbb{R})$ si dice

• simmetrica se $a_{ij}=a_{ji}$ per ogni $i,j$;
• antisimmetrica se $a_{ij}=-a_{ji}$ per ogni $i,j$.

In una matrice simmetrica gli elementi sono disposti in modo speculare rispetto alla diagonale principale. In una matrice antisimmetrica, ponendo $i=j$, si ottiene $a_{ii}=-a_{ii}$, quindi gli elementi diagonali sono nulli. Le matrici simmetriche descrivono le forme quadratiche e le coniche, e il teorema spettrale garantisce che sono sempre diagonalizzabili; si rimanda agli argomenti sul prodotto scalare e sulle coniche.