Spazi vettoriali, basi e dimensione

Stabilire se

$$W=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3:x+y=z,x=3y\}$$

è un sottospazio di ${\mathbb{R}}^3$ e, in caso affermativo, determinarne una base.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Stabilire se

$$W=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x^2=y^2\}$$

è un sottospazio di ${\mathbb{R}}^2$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Verificare che

$$W=\{p\in {\mathbb{R}}_3[x]:p(-x)=p(x)\text{per ogni }x\}$$

è un sottospazio di ${\mathbb{R}}_3[x]$ e determinarne una base e la dimensione.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Stabilire se i vettori $v_1=(1,2,3)$, $v_2=(2,1,0)$, $v_3=(1,-1,-3)$ sono linearmente indipendenti; in caso contrario, scrivere uno di essi come combinazione lineare degli altri.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Determinare per quali valori di $k\in \mathbb{R}$ i vettori

$$v_1=(1,k,0),v_2=(0,1,k),v_3=(k,0,1)$$

sono linearmente indipendenti.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Stabilire se le matrici

$$A_1=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),A_3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),A_4=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$$

formano una base di $M_2(\mathbb{R})$, e determinare la dimensione del sottospazio che generano.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Determinare una base e la dimensione del sottospazio

$$W=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in {\mathbb{R}}^4:x_1-x_2+2x_3-x_4=0\}.$$

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Verificare che $\mathcal{B}=(1,1+x,1+x+x^2)$ è una base di ${\mathbb{R}}_2[x]$ e determinare le coordinate di $p(x)=3-2x+5x^2$ rispetto a $\mathcal{B}$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Sia $W=⟨(1,1,2),(2,0,1),(0,2,3),(3,1,3)⟩\subseteq {\mathbb{R}}^3$. Estrarre una base di $W$ dai generatori dati, determinare $\dim W$ e un’equazione cartesiana di $W$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Completare i vettori $v_1=(0,0,1,1)$ e $v_2=(1,2,0,1)$ a una base di ${\mathbb{R}}^4$ aggiungendo vettori della base canonica.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Determinare equazioni cartesiane del sottospazio

$$W=⟨(1,1,0,0),(0,1,1,1)⟩\subseteq {\mathbb{R}}^4.$$

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

In ${\mathbb{R}}^4$ si considerino

$$U:x_1+x_2+x_3+x_4=0,W=⟨(1,-1,0,0),(1,1,1,1),(0,0,1,-1)⟩.$$

Determinare una base di $U\cap W$ e la dimensione di $U+W$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

In ${\mathbb{R}}^3$ si considerino il piano $U:x+y-z=0$ e la retta $W_k=⟨(1,k,1)⟩$, con $k\in \mathbb{R}$. Determinare per quali valori di $k$ si ha

$${\mathbb{R}}^3=U\oplus W_k.$$

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.