Teoria

Determinante e matrice inversa

Come si calcola il determinante di una matrice quadrata, quali proprietà permettono di semplificarne il calcolo e come il determinante decide l'invertibilità e fornisce la formula dell'inversa.

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Determinante di ordine 2 e 3
Sviluppo di Laplace

Determinante di ordine 2 e 3

1. Determinante di ordine 2

Sia $A = (a c b d) \in M_{2} (R)$ . Il determinante di $A$ è il numero reale

det A = a c b d = a d - b c,

cioè il prodotto degli elementi della diagonale principale meno il prodotto degli elementi della diagonale secondaria. Il determinante associa a ogni matrice quadrata un solo numero, e per il criterio di invertibilità questo numero decide se la matrice è invertibile. Per esempio

35 - 2 4 = 3 \cdot 4 - (- 2) \cdot 5 = 22.

Significato geometrico

Siano $u = (u_{1}, u_{2})$ e $v = (v_{1}, v_{2})$ due vettori del piano. L’area del parallelogramma che ha due lati consecutivi su $u$ e $v$ è il valore assoluto del determinante della matrice che ha $u$ e $v$ come righe:

Area = det (u_{1} v_{1} u_{2} v_{2}) .

Il segno indica l’orientamento: il determinante è positivo quando la rotazione più breve che porta $u$ su $v$ è antioraria, negativo quando è oraria. Per $u = (3, 1)$ e $v = (1, 2)$ si ottiene $det = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 5$ , quindi il parallelogramma ha area $5$ . Il triangolo di lati $u$ e $v$ è metà del parallelogramma e ha area $\frac{5}{2}$ .

Il parallelogramma di lati

u = (3, 1)

v = (1, 2)

ha area

det (3112) = 5

Attenzione

Il determinante è nullo esattamente quando il parallelogramma degenera in un segmento, cioè quando $u$ e $v$ sono paralleli. Per $u = (2, 1)$ e $v = (4, 2)$ si ha $v = 2 u$ , quindi le righe della matrice sono proporzionali e

2412 = 4 - 4 = 0.

I vettori

u = (2, 1)

v = (4, 2)

stanno sulla stessa retta: il parallelogramma ha area

0

e il determinante è nullo

2. Determinante di ordine 3 e regola di Sarrus

Sia $A = (a_{ij}) \in M_{3} (R)$ . Il determinante di $A$ è

det A = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} .

La regola di Sarrus serve a ricordare i sei prodotti: si ricopiano a destra della matrice le prime due colonne,

a_{11} a_{21} a_{31} a_{12} a_{22} a_{32} a_{13} a_{23} a_{33} a_{11} a_{21} a_{31} a_{12} a_{22} a_{32}

e si sommano i prodotti delle tre diagonali che scendono verso destra, poi si sottraggono i prodotti delle tre diagonali che scendono verso sinistra. Per esempio

210131012 = (12 + 0 + 0) - (0 + 2 + 2) = 8.

Attenzione

La regola di Sarrus vale solo per le matrici di ordine $3$ . Per la matrice $J \in M_{4} (R)$ con $1$ sulla diagonale secondaria e $0$ altrove, l’analogo schema con le prime tre colonne ricopiate dà $- 1$ , mentre con lo sviluppo di Laplace si ottiene $det J = 1$ . Per l’ordine $n \geq 4$ si usano lo sviluppo di Laplace e le operazioni elementari.

Sviluppo di Laplace

1. Minore complementare e complemento algebrico

Sia $A = (a_{ij}) \in M_{n} (R)$ con $n \geq 2$ . Per ogni coppia di indici $(i, j)$ si indica con $A_{ij}$ la matrice di ordine $n - 1$ ottenuta da $A$ cancellando la riga $i$ e la colonna $j$ ; il suo determinante $det A_{ij}$ è il minore complementare dell’elemento $a_{ij}$ . Il complemento algebrico di $a_{ij}$ è

C_{ij} = (- 1)^{i + j} det A_{ij} .

Il segno $(- 1)^{i + j}$ è $+$ quando $i + j$ è pari e $-$ quando è dispari, e si dispone a scacchiera con $+$ nell’angolo in alto a sinistra:

+ - + - + - + - + .

Per $A = 210131012$ si ha $C_{12} = - 1012 = - 2$ .

2. Determinante di ordine n

Il determinante di una matrice di ordine $1$ è il suo unico elemento: $det (a_{11}) = a_{11}$ . Per $n \geq 2$ il determinante di $A \in M_{n} (R)$ si definisce sviluppando lungo la prima riga:

det A = a_{11} C_{11} + a_{12} C_{12} + \dots + a_{1 n} C_{1 n} = j = 1 \sum n a_{1 j} C_{1 j} .

La definizione è ricorsiva: un determinante di ordine $n$ si riduce a $n$ determinanti di ordine $n - 1$ . Per $n = 2$ e $n = 3$ la formula restituisce $a d - b c$ e i sei prodotti della regola di Sarrus.

3. Teorema di Laplace

Sia $A \in M_{n} (R)$ con $n \geq 2$ . Per ogni riga $i$ e per ogni colonna $j$ valgono

det A = k = 1 \sum n a_{ik} C_{ik} e det A = k = 1 \sum n a_{k j} C_{k j} .

Il determinante si può quindi sviluppare lungo una riga o una colonna qualsiasi, con lo stesso risultato. Nei calcoli si sceglie la riga o la colonna con più zeri, perché i termini con $a_{ik} = 0$ non richiedono il calcolo del complemento algebrico. La dimostrazione usa la scrittura del determinante come somma estesa alle permutazioni degli indici e si omette.

Sviluppo di un determinante di ordine 4

det A = 1020211000303212 = 2 \cdot (- 1)^{4 + 4} 102211003 = 2 \cdot 3 \cdot (- 1)^{3 + 3} 1021 = 6.

La quarta riga ha un solo elemento non nullo, perciò lo sviluppo lungo quella riga lascia un solo determinante di ordine $3$ . In questo la terza colonna ha un solo elemento non nullo, e lo sviluppo lungo la terza colonna si riduce a un determinante di ordine $2$ .

La teoria continua con 6 altri paragrafi (proprietà del determinante, calcolo con le operazioni elementari, determinante e invertibilità…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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