Applicazioni lineari

Scrivere la matrice associata all’applicazione lineare $f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3$

$$f(x,y)=(2x-y,x+y,3y)$$

rispetto alle basi canoniche e calcolare $f(1,-2)$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Determinare per quali valori di $k\in \mathbb{R}$ è lineare la funzione

$$f_k(x,y)=(x+k{y}^2,2x-y).$$

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Determinare nucleo e immagine dell’endomorfismo di ${\mathbb{R}}^3$

$$f(x,y,z)=(x-2y,y+3z,x+z).$$

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Dimostrare che $f(x,y,z)=(x+y,y+2z,z)$ è un isomorfismo di ${\mathbb{R}}^3$ e determinare $f^{-1}$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Determinare una base del nucleo e l’equazione cartesiana dell’immagine di

$$f(x,y,z)=(x-y,y-z,x-z).$$

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Sia $f:{\mathbb{R}}^4\to {\mathbb{R}}^2$, $f(x,y,z,w)=(x+y-z,y+z+w)$. Stabilire se $f$ è suriettiva e determinare una base del nucleo.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Determinare l’applicazione lineare $f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3$ tale che

$$f(1,2)=(1,0,1),f(0,1)=(2,1,-1).$$

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Sia $T:{\mathbb{R}}_2[x]\to {\mathbb{R}}_2[x]$, $T(p)=p+p^{\prime }$. Scrivere la matrice di $T$ rispetto alla base $(1,x,x^2)$, stabilire se $T$ è un isomorfismo e determinare il polinomio $p$ tale che $T(p)=x^2$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Stabilire se le matrici

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 3\end{array}\right)$$

sono simili.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Sia $f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3$, $f(x,y)=(x,y,x+y)$. Determinare $M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}(f)$ con

$$\mathcal{B}=((1,1),(1,-1)),\mathcal{C}=((1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)).$$

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Siano $f(x,y)=(x+y,x-y)$ e $g(x,y)=(2x,x+y)$. Scrivere $g\circ f$, stabilire se è un isomorfismo e, in caso affermativo, determinarne l’inversa.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Sia $f_k$ l’endomorfismo di ${\mathbb{R}}^3$ con matrice

$$A_k=\left(\begin{array}{ccc}k& 1& 1\\ 1& k& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right).$$

Determinare nucleo e immagine al variare di $k\in \mathbb{R}$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Stabilire se esiste un’applicazione lineare $f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3$ tale che

$$f(1,0)=(1,1,0),f(1,1)=(1,0,1),f(2,1)=(2,1,1);$$

in caso affermativo, stabilire se è unica e se è iniettiva.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.