Esercizi svolti · Scheda 2

Matrici associate rispetto alle basi canoniche

Teoria usata: Matrice associata Coordinate dell'immagine Matrice rispetto alle basi canoniche L'isomorfismo delle coordinate

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Esercizio 1

Scrivere la matrice associata alla funzione $f : R^{3} \to R^{2}$

f (x, y, z) = (x - y + 2 z, 3 x + z)

rispetto alle basi canoniche e calcolare $f (1, 2, - 1)$ .

A = (13 - 1 0 21)

f (1, 2, - 1) = (13 - 1 0 21) 12 - 1 = (1 - 2 - 2 3 + 0 - 1) = (- 3 2)

Il dominio ha dimensione $3$ e il codominio dimensione $2$ , quindi la matrice ha $3$ colonne e $2$ righe. Rispetto alle basi canoniche la riga $i$ -esima contiene i coefficienti di $x$ , $y$ , $z$ nella componente $i$ -esima di $f$ ; nella seconda componente manca $y$ , perciò il suo coefficiente è $0$ . Le colonne sono $f (e_{1}) = (1, 3)$ , $f (e_{2}) = (- 1, 0)$ e $f (e_{3}) = (2, 1)$ . Per il teorema sulle coordinate dell’immagine, $f (1, 2, - 1)$ si ottiene moltiplicando la matrice per la colonna $(1, 2, - 1)$ , e il risultato è $f (1, 2, - 1) = (- 3, 2)$ , in accordo con la sostituzione diretta nella formula.

Esercizio 2

Sia $f : R^{2} \to R^{3}$ lineare con

f (e_{1}) = (1, 0, 2), f (e_{2}) = (- 1, 3, 1) .

Scrivere $f (x, y)$ e calcolare $f (2, - 1)$ .

A = 102 - 1 31

f (x, y) = x f (e_{1}) + y f (e_{2}) = (x - y, 3 y, 2 x + y)

f (2, - 1) = (2 + 1, - 3, 4 - 1) = (3, - 3, 3)

Le colonne della matrice rispetto alle basi canoniche sono le immagini dei vettori della base canonica del dominio, quindi $A$ si scrive affiancando $f (e_{1})$ e $f (e_{2})$ in colonna. Poiché $(x, y) = x e_{1} + y e_{2}$ , per la linearità $f (x, y) = x f (e_{1}) + y f (e_{2})$ , e sommando componente per componente si ottiene la formula esplicita, che coincide con il prodotto $A (x y)$ . Sostituendo $x = 2$ e $y = - 1$ si trova $f (2, - 1) = (3, - 3, 3)$ .

Esercizio 3

Sia $T : R_{2} [x] \to R_{2} [x]$ definita da $T (p) = (x + 1) p^{'}$ . Scrivere la matrice di $T$ rispetto alla base $(1, x, x^{2})$ e usarla per calcolare $T (3 - x + 2 x^{2})$ .

T (1) T (x) T (x^{2}) = 0 = x + 1 = 1 + x = (x + 1) \cdot 2 x = 2 x + 2 x^{2}

M (T) = 000110022

000110022 3 - 1 2 = - 1 34 ⟹ T (3 - x + 2 x^{2}) = - 1 + 3 x + 4 x^{2}

La matrice si costruisce calcolando l’immagine di ciascun polinomio della base e scrivendone le coordinate in colonna. La derivata di $1$ è nulla, quindi la prima colonna è nulla; $T (x) = 1 + x$ ha coordinate $(1, 1, 0)$ e $T (x^{2}) = 2 x + 2 x^{2}$ ha coordinate $(0, 2, 2)$ . Il polinomio $3 - x + 2 x^{2}$ ha coordinate $(3, - 1, 2)$ , e il prodotto con la matrice dà le coordinate $(- 1, 3, 4)$ dell’immagine. Il calcolo diretto conferma il risultato, poiché $p^{'} = - 1 + 4 x$ e $(x + 1) (- 1 + 4 x) = - 1 + 3 x + 4 x^{2}$ .

Esercizio 4

Scrivere la matrice della trasposizione $T : M_{2} (R) \to M_{2} (R)$ , $T (X) = X^{T}$ , rispetto alla base canonica $(E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22})$ , e usarla per calcolare la trasposta di

X = (1324) .

T (E_{11}) = E_{11}, T (E_{12}) = E_{21}, T (E_{21}) = E_{12}, T (E_{22}) = E_{22}

M (T) = 1000001001000001

M (T) 1234 = 1324 ⟹ X^{T} = (1234)

Lo spazio $M_{2} (R)$ ha dimensione $4$ , quindi la matrice di $T$ è $4 \times 4$ . La matrice $E_{12}$ ha l’elemento $1$ in posizione $(1, 2)$ , e la sua trasposta ha l’elemento $1$ in posizione $(2, 1)$ , cioè $T (E_{12}) = E_{21}$ ; allo stesso modo $T (E_{21}) = E_{12}$ , mentre $E_{11}$ ed $E_{22}$ restano fisse. Le coordinate di $E_{21}$ sono $(0, 0, 1, 0)$ e formano la seconda colonna, quelle di $E_{12}$ sono $(0, 1, 0, 0)$ e formano la terza. La matrice $X$ ha coordinate $(1, 2, 3, 4)$ per l’isomorfismo delle coordinate, e la matrice di $T$ scambia la seconda e la terza coordinata. Si ottengono le coordinate $(1, 3, 2, 4)$ , che corrispondono alla trasposta $X^{T}$ .