Esercizi svolti · Scheda 1

Verifiche della linearità

Teoria usata: Applicazione lineare Prime proprietà Matrice rispetto alle basi canoniche

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Esercizio 1

Stabilire se la funzione $f : R^{2} \to R^{3}$

f (x, y) = (x + 2 y, 3 x - y, x)

è lineare.

u = (x_{1}, y_{1}), v = (x_{2}, y_{2}), λ \in R

f (u + v) = ((x_{1} + x_{2}) + 2 (y_{1} + y_{2}), 3 (x_{1} + x_{2}) - (y_{1} + y_{2}), x_{1} + x_{2}) = (x_{1} + 2 y_{1}, 3 x_{1} - y_{1}, x_{1}) + (x_{2} + 2 y_{2}, 3 x_{2} - y_{2}, x_{2}) = f (u) + f (v)

f (λ u) = (λ x_{1} + 2 λ y_{1}, 3 λ x_{1} - λ y_{1}, λ x_{1}) = λ f (u)

f (x, y) = 131 2 - 1 0 (x y)

Per dimostrare la linearità servono le due condizioni con vettori e scalari generici, quindi si scrivono $u$ e $v$ con componenti letterali. Nella somma $f (u + v)$ ogni componente è un polinomio di primo grado senza termine noto, perciò si separa nella parte con indice $1$ e nella parte con indice $2$ , e si ottiene $f (u) + f (v)$ . Allo stesso modo $λ$ si raccoglie in ogni componente di $f (λ u)$ . Le due condizioni sono verificate, quindi $f$ è lineare. La stessa conclusione si legge dalla scrittura $f (x, y) = A (x y)$ , poiché ogni funzione della forma $x \mapsto A x$ è lineare; le righe di $A$ contengono i coefficienti delle tre componenti.

Esercizio 2

Stabilire se sono lineari le funzioni

g (x, y) = (x - y, x y), h (x, y, z) = (x + z, y - 1) .

h (0, 0, 0) = (0, - 1) \neq = (0, 0)

g (0, 0) = (0, 0), g (2, 2) = (0, 4), 2 g (1, 1) = 2 (0, 1) = (0, 2)

g (2 \cdot (1, 1)) \neq = 2 g (1, 1)

Un’applicazione lineare manda il vettore nullo nel vettore nullo. Poiché $h (0, 0, 0) = (0, - 1)$ , la funzione $h$ non è lineare; la causa è il termine noto $- 1$ nella seconda componente.

Per $g$ il controllo sul vettore nullo è superato, dato che $g (0, 0) = (0, 0)$ ; questo controllo è necessario e non sufficiente, perciò si cerca un controesempio a una delle due condizioni. Il prodotto $x y$ è di secondo grado, quindi raddoppiando il vettore la seconda componente si moltiplica per $4$ . Infatti $g (2, 2) = (0, 4)$ , mentre $2 g (1, 1) = (0, 2)$ , perciò $g$ non è lineare.

Esercizio 3

Sia $T : R_{2} [x] \to R^{2}$ definita da

T (p) = (p (1), p^{'} (0)) .

Dimostrare che $T$ è lineare, scrivere la matrice rispetto alla base $(1, x, x^{2})$ di $R_{2} [x]$ e alla base canonica di $R^{2}$ , e calcolare $T (1 + 2 x - x^{2})$ .

T (p + q) T (λ p) = (p (1) + q (1), p^{'} (0) + q^{'} (0)) = T (p) + T (q) = (λ p (1), λ p^{'} (0)) = λ T (p)

T (1) = (1, 0), T (x) = (1, 1), T (x^{2}) = (1, 0)

M (T) = (101110)

(101110) 12 - 1 = (22) ⟹ T (1 + 2 x - x^{2}) = (2, 2)

Il valore in un punto della somma di due polinomi è la somma dei valori, e la derivata della somma è la somma delle derivate; inoltre una costante moltiplicativa si porta fuori sia dal valore sia dalla derivata. Quindi le due componenti di $T$ soddisfano entrambe le condizioni, e $T$ è lineare.

Le colonne della matrice sono le immagini dei polinomi della base. Per $p = 1$ si ha $p (1) = 1$ e $p^{'} = 0$ ; per $p = x$ si ha $p (1) = 1$ e $p^{'} = 1$ ; per $p = x^{2}$ si ha $p (1) = 1$ e $p^{'} (0) = 2 \cdot 0 = 0$ . Il polinomio $1 + 2 x - x^{2}$ ha coordinate $(1, 2, - 1)$ rispetto alla base, e il prodotto della matrice per queste coordinate dà $(2, 2)$ . Il risultato si conferma direttamente, poiché $p (1) = 1 + 2 - 1 = 2$ e $p^{'} (x) = 2 - 2 x$ vale $2$ in $x = 0$ .

Esercizio 4

Determinare per quali valori del parametro $k \in R$ la funzione

f_{k} (x, y) = (x + k^{2} - 1, (k - 1) x y + y)

è lineare.

f_{k} (0, 0) = (k^{2} - 1, 0) = (0, 0) ⟺ k = 1 oppure k = - 1

k = 1 : f_{1} (x, y) = (x, y)

k = - 1 : f_{- 1} (x, y) = (x, - 2 x y + y), f_{- 1} (2, 2) = (2, - 6), 2 f_{- 1} (1, 1) = (2, - 2)

La condizione $f_{k} (0, 0) = (0, 0)$ è necessaria per la linearità, quindi si impone per prima. La prima componente di $f_{k} (0, 0)$ è $k^{2} - 1$ , che si annulla solo per $k = \pm 1$ . Per tutti gli altri valori di $k$ la funzione non è lineare.

Restano da esaminare i due valori trovati. Per $k = 1$ il termine $(k - 1) x y$ si annulla e $f_{1}$ è l’identità di $R^{2}$ , che è lineare. Per $k = - 1$ resta il termine di secondo grado $- 2 x y$ , e il controesempio con $(1, 1)$ e $λ = 2$ mostra che $f_{- 1} (2, 2) = (2, - 6)$ è diverso da $2 f_{- 1} (1, 1) = (2, - 2)$ . Perciò $f_{k}$ è lineare se e solo se $k = 1$ .