Esercizi svolti · Scheda 3

Calcoli di nucleo e immagine

Teoria usata: Nucleo e immagine Il calcolo di nucleo e immagine Generatori dell'immagine e rango Iniettività e nucleo Suriettività e rango Teorema della dimensione

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Esercizio 1

Determinare nucleo e immagine dell’endomorfismo di $R^{2}$

f (x, y) = (x + y, 2 x + 2 y)

e stabilire se $f$ è iniettiva o suriettiva.

A = (1212), det A = 2 - 2 = 0, rk A = 1

f (x, y) = (0, 0) ⟺ x + y = 0 ⟹ ker f = ⟨(1, - 1)⟩

f (x, y) = (x + y) (1, 2) ⟹ Im f = ⟨(1, 2)⟩

y = 2 x

y = -x

L'immagine di

f

è la retta

y = 2 x

, il nucleo è la retta

y = - x

(tratteggiata)

La seconda riga della matrice è il doppio della prima, quindi il rango è $1$ . Il nucleo è l’insieme delle soluzioni di $f (x, y) = (0, 0)$ , cioè dell’unica equazione $x + y = 0$ ; ponendo $x = t$ si ottiene $y = - t$ , e il nucleo è la retta generata da $(1, - 1)$ . Poiché $ker f \neq = {(0, 0)}$ , $f$ non è iniettiva. Raccogliendo $x + y$ si ottiene $f (x, y) = (x + y) (1, 2)$ , quindi ogni immagine è un multiplo di $(1, 2)$ e l’immagine è la retta $y = 2 x$ ; essa ha dimensione $1 < 2$ , quindi $f$ non è suriettiva. Le dimensioni verificano il teorema della dimensione, $1 + 1 = 2$ .

Esercizio 2

Determinare una base del nucleo e una base dell’immagine di

f (x, y, z) = (x + y + 3 z, 2 x - y, x + 2 y + 5 z)

e scrivere l’equazione cartesiana dell’immagine.

121 1 - 1 2 305 R_{2} \to R_{2} - 2 R_{1} R_{3} \to R_{3} - R_{1} 100 1 - 3 1 3 - 6 2 R_{3} \to 3 R_{3} + R_{2} 100 1 - 3 0 3 - 6 0

rk A = 2, dim ker f = 3 - 2 = 1

{x + y + 3 z = 0 - 3 y - 6 z = 0 ⟹ {y = - 2 z x = - y - 3 z = - z ⟹ ker f = ⟨(- 1, - 2, 1)⟩

Im f = ⟨(1, 2, 1), (1, - 1, 2)⟩

121 1 - 1 2 x y z = x (4 + 1) - y (2 - 1) + z (- 1 - 2) = 5 x - y - 3 z = 0

La riduzione a scala lascia due righe non nulle, quindi $rk A = 2$ e per il teorema della dimensione il nucleo ha dimensione $3 - 2 = 1$ . Il sistema ridotto ha la variabile libera $z$ : dalla seconda equazione $y = - 2 z$ , e sostituendo nella prima $x = - y - 3 z = 2 z - 3 z = - z$ . Ponendo $z = 1$ si ottiene il generatore $(- 1, - 2, 1)$ del nucleo.

I pivot della forma a scala sono nella prima e nella seconda colonna, perciò le corrispondenti colonne di $A$ , cioè $(1, 2, 1)$ e $(1, - 1, 2)$ , formano una base dell’immagine. Un vettore $(x, y, z)$ appartiene all’immagine se e solo se dipende linearmente dai due vettori della base, cioè se il determinante della matrice che ha per colonne i tre vettori è nullo. Sviluppando secondo la terza colonna si ottiene il piano $5 x - y - 3 z = 0$ . La terza colonna $(3, 0, 5)$ di $A$ soddisfa l’equazione, poiché $15 - 0 - 15 = 0$ , in accordo con il fatto che anch’essa sta nell’immagine.

Esercizio 3

Sia $f : R^{4} \to R^{3}$

f (x, y, z, w) = (x + y + 2 w, y + z + w, x + 2 y + z + 3 w) .

Determinare una base del nucleo e una base dell’immagine; stabilire se $f$ è suriettiva.

101112011213 R_{3} \to R_{3} - R_{1} 100111011211 R_{3} \to R_{3} - R_{2} 100110010210

rk A = 2, dim ker f = 4 - 2 = 2, dim Im f = 2 < 3

{y = - z - w x = - y - 2 w = z - w ⟹ (x, y, z, w) = z (1, - 1, 1, 0) + w (- 1, - 1, 0, 1)

ker f = ⟨(1, - 1, 1, 0), (- 1, - 1, 0, 1)⟩, Im f = ⟨(1, 0, 1), (1, 1, 2)⟩

La terza riga della matrice è la somma delle prime due, e infatti la riduzione la annulla; il rango è $2$ . Per il teorema della dimensione il nucleo ha dimensione $4 - 2 = 2$ , quindi il sistema ridotto ha due variabili libere, $z$ e $w$ . Dalla seconda equazione $y = - z - w$ ; sostituendo nella prima si ottiene $x = - y - 2 w = z + w - 2 w = z - w$ . Scrivendo la soluzione generale come combinazione con coefficienti $z$ e $w$ si leggono i due vettori di una base del nucleo.

I pivot sono nelle prime due colonne, quindi $(1, 0, 1)$ e $(1, 1, 2)$ formano una base dell’immagine. L’immagine ha dimensione $2$ , minore della dimensione $3$ del codominio, perciò $f$ non è suriettiva; nemmeno l’iniettività è possibile, poiché un’applicazione da uno spazio di dimensione $4$ a uno di dimensione $3$ ha sempre nucleo non nullo.

Esercizio 4

Stabilire se $f : R^{3} \to R^{2}$ , $f (x, y, z) = (x + y + z, x - y + z)$ , è suriettiva e determinarne il nucleo.

A = (11 1 - 1 11), 11 1 - 1 = - 2 \neq = 0 ⟹ rk A = 2

{x + y + z = 0 x - y + z = 0 ⟹ {y = 0 x = - z ⟹ ker f = ⟨(- 1, 0, 1)⟩

La matrice ha un minore di ordine $2$ non nullo, quindi il rango è $2$ , uguale alla dimensione del codominio; per il criterio di suriettività $f$ è suriettiva, cioè $Im f = R^{2}$ . Il teorema della dimensione dà $dim ker f = 3 - 2 = 1$ . Sottraendo membro a membro le due equazioni del sistema omogeneo si ottiene $2 y = 0$ , quindi $y = 0$ , e la prima equazione diventa $x = - z$ . Ponendo $z = 1$ si trova il generatore $(- 1, 0, 1)$ del nucleo, perciò $f$ non è iniettiva.