Immagine, monotonia e iniettività

La funzione è quadratica con $a=1>0$, quindi per il teorema sul vertice della parabola il suo valore minimo è assunto in $x_V=3$ e vale $-4$. Il vertice sta nell’intervallo $[0,5]$; a sinistra del vertice la funzione decresce e a destra cresce, perciò il valore massimo sull’intervallo è il maggiore dei valori agli estremi, $f(0)=5$ e $f(5)=0$. Il grafico su $[0,5]$ è un arco di parabola senza interruzioni, quindi la funzione assume tutti i valori compresi tra il minimo e il massimo, e l’immagine è $[-4,5]$; la proprietà si giustificherà con il teorema dei valori intermedi nell’argomento sui limiti e la continuità.

La funzione non è iniettiva su $[0,5]$, perché i due valori diversi $1$ e $5$ hanno la stessa immagine $0$. È invece crescente, e quindi iniettiva, sull’intervallo $[3,5]$, dove si trova a destra del vertice. Nessun intervallo più grande contenente $5$ va bene, perché aggiungendo punti a sinistra di $3$ si trovano valori già assunti a destra del vertice.

Per la definizione di funzione crescente si confrontano le immagini di due valori qualsiasi $x_1<x_2$ del dominio. Per numeri positivi il reciproco inverte le disuguaglianze, quindi $\frac{1}{x_1}>\frac{1}{x_2}$; moltiplicando per $-2$, che è negativo, la disuguaglianza si inverte di nuovo, e aggiungendo $3$ a entrambi i membri si ottiene $f(x_1)<f(x_2)$. Perciò $f$ è crescente su $(0,+\infty )$.

Per trovare l’immagine si cerca per quali $y$ l’equazione $f(x)=y$ ha una soluzione nel dominio. Isolando $x$ si ottiene $x=\frac{2}{3-y}$, che ha senso per $y\ne 3$ ed è positivo esattamente quando $3-y>0$. Quindi un valore $y$ è assunto se e solo se $y<3$, e l’immagine è $(-\infty ,3)$. Il valore $3$ non è mai raggiunto, perché $\frac{2}{x}$ è sempre positivo.