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Esercizi da fare

Successioni, progressioni e serie

Tracce da svolgere in autonomia. La soluzione finale compare con il pulsante sotto ogni traccia; ogni esercizio ha anche una pagina propria, da condividere con il link.

1. Termine e somma di una progressione aritmetica

Una progressione aritmetica ha primo termine $4$ e ragione $7$ . Calcolare il quindicesimo termine e la somma dei primi quindici termini.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

2. Progressione aritmetica da due termini

In una progressione aritmetica $a_5 = 20$ e $a_{12} = 48$ . Determinare la ragione, il primo termine e la somma dei primi dieci termini.

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3. Somma dei numeri dispari

Calcolare la somma dei primi $100$ numeri dispari, $1 + 3 + 5 + \dots + 199$ .

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4. Termine e somma di una progressione geometrica

Una progressione geometrica ha primo termine $3$ e ragione $2$ . Calcolare il decimo termine e la somma dei primi dieci termini.

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5. Ragione negativa

In una progressione geometrica $a_3 = 12$ e $a_6 = -96$ . Determinare la ragione e il primo termine.

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6. Monotonia e limite di una successione

Mostrare che la successione $a_n = \dfrac{3n - 1}{n + 2}$ è crescente e calcolarne il limite.

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7. Limite di un quoziente di polinomi

Calcolare $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{5n^3 - 2n}{2n^3 + n^2 + 1}$ .

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8. Limite con differenza di radici

Calcolare $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left( \sqrt{n + 5} - \sqrt{n} \right)$ .

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9. Limite con potenze

Calcolare $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{4^n - 1}{2^{2n + 1} + 3}$ .

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10. Somma di una serie geometrica

Calcolare la somma della serie $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} 2 \left( \frac{3}{4} \right)^{k}$ .

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11. Serie geometrica che parte da un indice diverso

Calcolare la somma della serie $\displaystyle\sum_{k=2}^{\infty} \left( \frac{1}{3} \right)^{k}$ .

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12. Numero periodico come frazione

Scrivere come frazione, con la serie geometrica, il numero $0{,}\overline{45} = 0{,}454545\ldots$

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13. Serie telescopica

Calcolare la somma della serie $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k + 1)(k + 2)}$ , scrivendo il termine generale come $\dfrac{1}{k + 1} - \dfrac{1}{k + 2}$ .

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14. Versamenti periodici e rendita perpetua

Si versano $300$ euro alla fine di ogni anno per $10$ anni su un conto al $2\%$ composto. Calcolare il saldo subito dopo l’ultimo versamento. Calcolare poi il valore attuale, al tasso del $2{,}5\%$ , di una rendita perpetua di $800$ euro all’anno con il primo pagamento tra un anno.

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