Teoria

Derivate, funzioni marginali ed elasticità

Che cos'è la derivata e come si calcola con le regole di derivazione, che cosa misurano il costo, il ricavo e il profitto marginali e l'elasticità della domanda, e che cosa dicono i teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange e la regola di de l'Hôpital.

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Rapporto incrementale e derivata
Derivate delle funzioni elementari

Rapporto incrementale e derivata

1. Derivata in un punto

Sia $f$ definita in un intervallo aperto che contiene $x_{0}$ . Il rapporto incrementale di $f$ tra $x_{0}$ e $x_{0} + h$ , con $h \neq = 0$ , è

\frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h},

cioè la variazione di $f$ divisa per la variazione della variabile; nel grafico è la pendenza della retta secante per i punti di ascisse $x_{0}$ e $x_{0} + h$ . La funzione è derivabile in $x_{0}$ se esiste finito il limite

f^{'} (x_{0}) = h \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h},

che si chiama derivata di $f$ in $x_{0}$ e si indica anche con $\frac{df}{d x} (x_{0})$ . Per $f (x) = x^{2}$ e $x_{0} = 3$ il rapporto incrementale è $\frac{( 3 + h ) ^{2} - 9}{h} = \frac{6 h + h ^{2}}{h} = 6 + h$ , che tende a $6$ ; quindi $f^{'} (3) = 6$ . La funzione $x \mapsto f^{'} (x)$ , definita dove $f$ è derivabile, si chiama funzione derivata.

2. Retta tangente

Se $f$ è derivabile in $x_{0}$ , la retta tangente al grafico nel punto $(x_{0}, f (x_{0}))$ è

y = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) .

Quando $h$ tende a $0$ il secondo punto della secante si avvicina al primo, e la secante tende alla retta per $(x_{0}, f (x_{0}))$ con pendenza $f^{'} (x_{0})$ ; la formula è quella della retta per un punto con pendenza assegnata. Per $f (x) = x^{2}$ in $x_{0} = 3$ la tangente è $y = 9 + 6 (x - 3) = 6 x - 9$ .

y = x^2

y = 6x - 9

y = 5x - 6

La secante per i punti di ascisse

2

3

ha pendenza

5

; avvicinando il secondo punto a

3

la secante tende alla tangente

y = 6 x - 9

, di pendenza

f^{'} (3) = 6

3. Derivabilità e continuità

Se $f$ è derivabile in $x_{0}$ , allora $f$ è continua in $x_{0}$ .

Il viceversa è falso. Per esempio $f (x) = ∣ x ∣$ è continua in $0$ , ma il rapporto incrementale $\frac{∣ h ∣}{h}$ vale $1$ per $h > 0$ e $- 1$ per $h < 0$ , quindi non ha limite e la funzione non è derivabile in $0$ . Nel grafico il punto $(0, 0)$ è un punto angoloso, in cui le pendenze da destra e da sinistra sono diverse.

y = \left|x\right|

Il grafico di

∣ x ∣

ha pendenza

- 1

a sinistra di

0

e pendenza

1

a destra, quindi in

(0, 0)

ha un punto angoloso e la funzione non è derivabile in

0

Dimostrazione

Si scrive la differenza $f (x_{0} + h) - f (x_{0})$ come prodotto del rapporto incrementale per $h$ :

f (x_{0} + h) - f (x_{0}) = \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h} \cdot h \to f^{'} (x_{0}) \cdot 0 = 0,

perché il primo fattore tende al numero finito $f^{'} (x_{0})$ e il secondo a $0$ . Quindi $f (x_{0} + h) \to f (x_{0})$ , cioè $f$ è continua in $x_{0}$ .

Derivate delle funzioni elementari

Nei punti del loro dominio in cui sono derivabili valgono

$f (x)$	$f^{'} (x)$
$k$ (costante)	$0$
$x^{a}$ , con $a$ reale	$a x^{a - 1}$
$e^{x}$	$e^{x}$
$a^{x}$ , con $a > 0$	$a^{x} ln a$
$ln x$	$\frac{1}{x}$
$sin x$	$cos x$
$cos x$	$- sin x$

Le formule si ricavano dalla definizione con i limiti notevoli. Per l’esponenziale

\frac{e ^{x + h} - e ^{x}}{h} = e^{x} \cdot \frac{e ^{h} - 1}{h} \to e^{x},

e per il logaritmo, con $x > 0$ ,

\frac{ln ( x + h ) - ln x}{h} = \frac{1}{x} \cdot \frac{ln ( 1 + \frac{h}{x} )}{\frac{h}{x}} \to \frac{1}{x} .

La formula delle potenze comprende le radici e i reciproci: $(x)^{'} = (x^{\frac{1}{2}})^{'} = \frac{1}{2 x}$ e $(\frac{1}{x})^{'} = (x^{- 1})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$ . La funzione $x$ non è derivabile in $0$ , dove $\frac{1}{2 x}$ non è definita.

La teoria continua con 6 altri paragrafi (regole di derivazione, funzioni marginali, elasticità…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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