Teoria

Limiti e continuità

Che cosa significa che una funzione si avvicina a un valore, come si calcolano i limiti e si risolvono le forme indeterminate, come si trovano gli asintoti, che cos'è una funzione continua e che cosa garantiscono i teoremi degli zeri e di Weierstrass.

In questa pagina

Limite finito in un punto
Limiti infiniti e limiti all’infinito

Limite finito in un punto

Sia $f$ definita in un intervallo aperto che contiene $x_{0}$ , escluso al più il punto $x_{0}$ . Si scrive

x \to x_{0} lim f (x) = L

se per ogni $ε > 0$ esiste $δ > 0$ tale che, per ogni $x$ del dominio,

0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ ⟹ ∣ f (x) - L ∣ < ε .

In altre parole, $f (x)$ è vicino a $L$ quanto si vuole, entro la tolleranza $ε$ , purché $x$ sia abbastanza vicino a $x_{0}$ , entro la distanza $δ$ . La condizione $0 < ∣ x - x_{0} ∣$ esclude il punto $x_{0}$ , quindi il valore $f (x_{0})$ , se esiste, non conta. Per $x \to 1 lim (2 x + 3) = 5$ , fissato $ε$ , si ha $∣ (2 x + 3) - 5∣ = 2 ∣ x - 1∣$ , che è minore di $ε$ quando $∣ x - 1∣ < \frac{ε}{2}$ ; basta quindi $δ = \frac{ε}{2}$ .

y = 2x + 3

Con

ε = 1

δ = \frac{1}{2}

, per

0 < ∣ x - 1∣ < \frac{1}{2}

il valore

2 x + 3

sta nella striscia

4 < y < 6

Limite destro e limite sinistro

Se nella definizione di limite si considerano solo gli $x > x_{0}$ si ottiene il limite destro, $x \to x_{0}^{+} lim f (x)$ ; con i soli $x < x_{0}$ si ottiene il limite sinistro, $x \to x_{0}^{-} lim f (x)$ . Il limite esiste se e solo se esistono il limite destro e il limite sinistro e sono uguali. Servono per le funzioni definite a tratti, nei punti in cui si passa da una formula all’altra. Per la funzione che vale $5$ per $0 < x \leq 2$ e $8$ per $x > 2$ , il limite sinistro in $2$ è $5$ e il limite destro è $8$ , quindi il limite in $2$ non esiste.

La funzione vale

5

per

0 < x \leq 2

8

per

x > 2

, quindi in

x = 2

il limite sinistro è

5

e il limite destro è

8

Limiti infiniti e limiti all’infinito

Limiti infiniti e all'infinito

Le altre situazioni si descrivono allo stesso modo, sostituendo agli intorni di un numero le semirette.

$x \to x_{0} lim f (x) = + \infty$ se per ogni $M$ esiste $δ > 0$ tale che $f (x) > M$ per $0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ$ , cioè se vicino a $x_{0}$ i valori di $f$ superano qualunque soglia. Allo stesso modo si definisce il limite $- \infty$ .
$x \to + \infty lim f (x) = L$ se per ogni $ε > 0$ esiste $N$ tale che $∣ f (x) - L ∣ < ε$ per $x > N$ , cioè se per valori grandi della variabile i valori di $f$ restano vicini a $L$ . Allo stesso modo si definisce il limite per $x \to - \infty$ .
$x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ se per ogni $M$ esiste $N$ tale che $f (x) > M$ per $x > N$ .

Per esempio $\frac{1}{x} \to 0$ per $x \to + \infty$ , $\frac{1}{x ^{2}} \to + \infty$ per $x \to 0$ , mentre $\frac{1}{x}$ tende a $+ \infty$ per $x \to 0^{+}$ e a $- \infty$ per $x \to 0^{-}$ . Nei modelli economici il limite per $x \to + \infty$ descrive che cosa accade per grandi quantità; per esempio il costo medio $\frac{200}{q} + 12$ tende a $12$ per $q \to + \infty$ .

y = \dfrac{1}{x}

\frac{1}{x}

tende a

0

per

x \to \pm \infty

, quindi l'asse

x

è un asintoto orizzontale; tende a

+ \infty

per

x \to 0^{+}

e a

- \infty

per

x \to 0^{-}

La teoria continua con 5 altri paragrafi (regole di calcolo e forme indeterminate, limiti notevoli e confronto tra infiniti, asintoti…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

Sblocca ora