Funzioni reali e modelli economici

1. Insiemi e operazioni

Un insieme è una collezione di oggetti, detti elementi; $x\in A$ significa che $x$ è un elemento di $A$, e $A\subseteq B$ significa che ogni elemento di $A$ appartiene anche a $B$. Per due insiemi $A$ e $B$:

• l’unione $A\cup B$ è formata dagli elementi che stanno in $A$ oppure in $B$;
• l’intersezione $A\cap B$ è formata dagli elementi che stanno sia in $A$ sia in $B$;
• la differenza $A\setminus B$ è formata dagli elementi di $A$ che non stanno in $B$.

Gli insiemi numerici usati nel corso sono $\mathbb{N}\subseteq \mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Q}\subseteq \mathbb{R}$, cioè i naturali, gli interi, i razionali e i reali. Le soluzioni di un sistema di disequazioni formano l’intersezione delle soluzioni delle singole disequazioni, perché devono soddisfarle tutte insieme. Per la teoria completa degli insiemi si rimanda all’argomento sugli insiemi di Analisi 1.

2. Intervalli

Un intervallo è un insieme di numeri reali compresi tra due estremi. Per $a<b$:

e allo stesso modo $[a,b)$ comprende l’estremo $a$ ma non $b$, e $(a,b]$ comprende $b$ ma non $a$. Gli intervalli illimitati sono le semirette, come $[a,+\infty )=\{x\in \mathbb{R}:x\ge a\}$ e $(-\infty ,b)=\{x\in \mathbb{R}:x<b\}$; i simboli $\pm \infty$ non sono numeri, quindi non appartengono mai a un intervallo. Le quantità prodotte o vendute non sono negative, perciò nei modelli economici le variabili stanno di solito in $[0,+\infty )$.

1. Funzione reale di variabile reale

Siano $A\subseteq \mathbb{R}$ e $B\subseteq \mathbb{R}$. Una funzione $f:A\to B$ associa a ogni $x\in A$ uno e un solo elemento $f(x)\in B$. L’insieme $A$ è il dominio, $x$ è la variabile indipendente e $f(x)$ è l’immagine di $x$. L’insieme di tutte le immagini,

è l’immagine della funzione, ed è contenuto in $B$. Per esempio $f(x)=x^2$, definita su $\mathbb{R}$, ha per immagine $[0,+\infty )$, perché un quadrato non è mai negativo e ogni numero $y\ge 0$ è il quadrato di $\sqrt{y}$.

2. Grafico di una funzione

Il grafico di $f:A\to \mathbb{R}$ è l’insieme dei punti del piano

Poiché a ogni $x$ corrisponde un solo valore, ogni retta verticale $x=x_0$ incontra il grafico in al più un punto, precisamente in un punto se $x_0\in A$ e in nessuno se $x_0\notin A$. Per questo una circonferenza non è il grafico di una funzione $y=f(x)$, mentre la sua semicirconferenza superiore lo è. Il punto $(x_0,y_0)$ appartiene al grafico se e solo se $x_0\in A$ e $y_0=f(x_0)$; con $f(x)=x^2-3$, il punto $(2,1)$ appartiene al grafico perché $2^2-3=1$, il punto $(1,1)$ no perché $1^2-3=-2$.