Teoria

Calcolo integrale e applicazioni economiche

Come si trovano le primitive di una funzione con gli integrali immediati, per sostituzione, per parti e con i fratti semplici, che cosa sono l'integrale definito e la funzione integrale, che cosa dicono il teorema della media e il teorema fondamentale del calcolo, e come si usano gli integrali per calcolare aree, costi totali, surplus e valori attuali.

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Primitive e integrale indefinito
Integrali immediati

Primitive e integrale indefinito

1. Primitiva

La derivazione associa a una funzione la sua pendenza; qui si cerca l’operazione inversa, cioè una funzione di cui si conosce la derivata. Sia $f$ definita su un intervallo $I$ . Una funzione $F$ derivabile su $I$ è una primitiva di $f$ su $I$ se

F'(x) = f(x) \qquad \text{per ogni } x \in I .

Per esempio $F(x) = x^3$ è una primitiva di $f(x) = 3x^2$ su $\mathbb{R}$ , perché $\left( x^3 \right)' = 3x^2$ . Anche $x^3 + 5$ e $x^3 - 2$ sono primitive di $3x^2$ , perché la derivata di una costante è zero; una funzione che ha una primitiva ne ha quindi infinite.

2. Primitive di una stessa funzione

Sia $F$ una primitiva di $f$ sull’intervallo $I$ . Allora le primitive di $f$ su $I$ sono tutte e sole le funzioni

F(x) + c, \qquad c \in \mathbb{R} .

Ogni $F + c$ è una primitiva, perché $(F + c)' = F' = f$ . Viceversa, se $G$ è un’altra primitiva, la differenza $G - F$ ha derivata $f - f = 0$ su tutto l’intervallo, e per il teorema sul segno della derivata e monotonia è costante. I grafici delle primitive sono traslazioni verticali l’uno dell’altro, e la costante si fissa assegnando il valore in un punto. La primitiva di $2x$ che vale $3$ in $x = 1$ è $x^2 + c$ con $1 + c = 3$ , cioè $x^2 + 2$ .

y = x^2

y = x^2 + 2

Due primitive di

2 x

; i grafici di

x^{2}

e di

x^{2} + 2

distano

2

in verticale per ogni

x

, e in ogni ascissa hanno la stessa pendenza; il punto

(1, 3)

individua

x^{2} + 2

3. Integrale indefinito

L’integrale indefinito di $f$ è l’insieme di tutte le sue primitive, e si scrive

\int f(x)\,dx = F(x) + c ,

dove $F$ è una primitiva qualsiasi e $c$ è una costante arbitraria. La funzione $f$ si chiama funzione integranda, e $dx$ indica la variabile rispetto alla quale si integra. Dalle regole di derivazione della somma e del prodotto per una costante segue la linearità: per $h, k \in \mathbb{R}$

\int \big( h\,f(x) + k\,g(x) \big)\,dx = h \int f(x)\,dx + k \int g(x)\,dx .

Per esempio $\displaystyle\int \left( 3x^2 - 4x + 5 \right) dx = x^3 - 2x^2 + 5x + c$ , come si controlla derivando il risultato. Il controllo per derivazione vale per ogni integrale indefinito.

Integrali immediati

Leggendo al contrario la tabella delle derivate delle funzioni elementari si ottengono, sugli intervalli in cui le funzioni sono definite,

$f(x)$	$\displaystyle\int f(x)\,dx$
$x^{a}$ , con $a \neq -1$	$\dfrac{x^{a + 1}}{a + 1} + c$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln \lvert x \rvert + c$
$e^{x}$	$e^{x} + c$
$a^{x}$ , con $a > 0$ e $a \neq 1$	$\dfrac{a^{x}}{\ln a} + c$
$\sin x$	$-\cos x + c$
$\cos x$	$\sin x + c$

Il valore assoluto nella primitiva di $\dfrac{1}{x}$ serve per $x < 0$ ; infatti per $x < 0$ si ha $\big( \ln(-x) \big)' = \dfrac{-1}{-x} = \dfrac{1}{x}$ . La formula delle potenze comprende radici e reciproci, che si scrivono prima come potenze:

\int \left( \sqrt{x} + \frac{1}{x^2} \right) dx = \int \left( x^{\frac{1}{2}} + x^{-2} \right) dx = \frac{2}{3}\,x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{x} + c .

Integrali immediati in forma composta

Sia $g$ derivabile su un intervallo. Dalla regola della funzione composta seguono

\int g(x)^{a}\,g'(x)\,dx = \frac{g(x)^{a + 1}}{a + 1} + c \quad (a \neq -1), \qquad \int \frac{g'(x)}{g(x)}\,dx = \ln \lvert g(x) \rvert + c, \qquad \int e^{g(x)}\,g'(x)\,dx = e^{g(x)} + c .

Si riconoscono quando l’integranda contiene una funzione $g$ e, come fattore, la sua derivata $g'$ , eventualmente a meno di una costante moltiplicativa, che si aggiusta. Per esempio

\int \frac{2x}{x^2 + 3}\,dx = \ln\left( x^2 + 3 \right) + c, \qquad \int x \left( x^2 + 1 \right)^3 dx = \frac{1}{2} \int 2x \left( x^2 + 1 \right)^3 dx = \frac{\left( x^2 + 1 \right)^4}{8} + c ,

e il valore assoluto si omette nel primo caso perché $x^2 + 3 > 0$ . Nel secondo integrale manca il fattore $2$ della derivata di $x^2 + 1$ , perciò si moltiplica e si divide per $2$ . Con $g(x) = 3x$ si ottiene anche $\displaystyle\int e^{3x}\,dx = \dfrac{e^{3x}}{3} + c$ .

La teoria continua con 7 altri paragrafi (integrazione per sostituzione e per parti, integrali di funzioni razionali, integrale definito…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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