Teoria

Successioni, progressioni e serie

Come si descrivono le grandezze che cambiano a scadenze regolari con le successioni, come si calcolano termini e somme delle progressioni aritmetiche e geometriche, che cosa significa che una successione ha limite, e quando una somma di infiniti termini dà un numero finito.

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Successioni
Progressioni aritmetiche

Successioni

1. Successione

Una successione di numeri reali è una funzione $a : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ che associa a ogni naturale $n$ il numero $a_n$ , detto termine di posto $n$ . Si scrive $(a_n)$ oppure $a_1, a_2, a_3, \dots$ ; l’indice può partire da $0$ o da $1$ secondo il problema. Una successione si assegna in due modi:

con il termine generale, una formula che dà $a_n$ in funzione di $n$ , come $a_n = \dfrac{2n + 1}{n + 3}$ , i cui primi termini sono $\dfrac{3}{4}$ , $1$ , $\dfrac{7}{6}$ , $\dfrac{9}{7}$ ;
per ricorrenza, dando il primo termine e la regola che ricava ogni termine dal precedente, come $a_1 = 2$ e $a_{n+1} = 3\,a_n - 1$ , i cui primi termini sono $2$ , $5$ , $14$ , $41$ .

La formula per ricorrenza dà il passaggio da un termine al successivo; il termine generale permette di calcolare un termine lontano senza passare per tutti i precedenti.

2. Successioni monotone e limitate

Una successione è crescente se $a_{n+1} > a_n$ per ogni $n$ , decrescente se $a_{n+1} < a_n$ per ogni $n$ ; con le disuguaglianze larghe si dice non decrescente e non crescente, e in tutti questi casi monotona. Per stabilirlo si studia il segno della differenza $a_{n+1} - a_n$ , oppure, per termini positivi, si confronta il rapporto $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ con $1$ . La successione è limitata se esiste un numero $M$ tale che $|a_n| \leq M$ per ogni $n$ . Per $a_n = \dfrac{2n + 1}{n + 3}$ si ha

a_{n+1} - a_n = \frac{2n + 3}{n + 4} - \frac{2n + 1}{n + 3} = \frac{5}{(n + 3)(n + 4)} > 0 ,

quindi la successione è crescente; inoltre $0 < a_n < 2$ per ogni $n$ , perché $2n + 1 < 2n + 6$ , perciò è limitata.

Progressioni aritmetiche

1. Progressione aritmetica

Una progressione aritmetica è una successione in cui ogni termine si ottiene dal precedente aggiungendo uno stesso numero $d$ , detto ragione: $a_{n+1} = a_n + d$ . Partendo da $a_1$ si aggiunge $d$ una volta per arrivare ad $a_2$ , due volte per $a_3$ , e in generale $n - 1$ volte per $a_n$ , quindi

a_n = a_1 + (n - 1)\,d .

La progressione è crescente se $d > 0$ e decrescente se $d < 0$ , e i suoi termini, disegnati in funzione di $n$ , stanno su una retta di pendenza $d$ . Per esempio, con $a_1 = 3$ e $d = 4$ si ottengono i termini $3$ , $7$ , $11$ , $15$ , $\dots$ e il termine generale è $a_n = 3 + 4\,(n - 1) = 4n - 1$ .

I termini della progressione aritmetica

a_{n} = 4 n - 1

stanno sulla retta

y = 4 x - 1

, di pendenza uguale alla ragione

d = 4

2. Somma dei termini di una progressione aritmetica

La somma dei primi $n$ termini di una progressione aritmetica è

S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n = \frac{n\,(a_1 + a_n)}{2} ,

cioè il numero dei termini per la media del primo e dell’ultimo. Per esempio, i primi $100$ numeri naturali formano una progressione aritmetica di ragione $1$ , con $a_1 = 1$ e $a_{100} = 100$ , quindi

S_{100} = 1 + 2 + \dots + 100 = \frac{100\,(1 + 100)}{2} = 5050 .

Dimostrazione

L’idea è sommare la progressione con se stessa scritta al contrario. Si scrive

\begin{aligned} S_n &= a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + a_n , \\[4pt] S_n &= a_n + a_{n-1} + \dots + a_2 + a_1 . \end{aligned}

In ogni colonna la somma è la stessa, perché passando da una colonna alla successiva il termine in alto aumenta di $d$ e quello in basso diminuisce di $d$ , quindi ogni colonna vale $a_1 + a_n$ . Le colonne sono $n$ , perciò sommando le due righe si ottiene $2 S_n = n\,(a_1 + a_n)$ , e dividendo per $2$ si ha la tesi.

La teoria continua con 5 altri paragrafi (progressioni geometriche, limite di una successione, serie numeriche…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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