Matrici, determinanti e sistemi lineari

Date le matrici

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ 3& 1& 2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& -1\\ 1& 3\end{array}\right),$$

calcolare i prodotti $AB$ e $BA$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Due clienti acquistano tre beni. Il primo compra $2$ unità del primo bene, $1$ del secondo e $3$ del terzo; il secondo compra $0$, $4$ e $1$ unità. I prezzi unitari sono $5$ euro, $3$ euro e $2$ euro. Scrivere la matrice $Q$ delle quantità (una riga per cliente) e il vettore colonna $p$ dei prezzi, e calcolare con il prodotto $Qp$ la spesa di ciascun cliente.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Calcolare il determinante

$$\left|\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 1& 0& 2\\ 4& 1& -1\end{array}\right|.$$

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Calcolare il determinante

$$\left|\begin{array}{cccc}2& 1& 0& 3\\ 0& 1& 0& 0\\ 1& 3& 2& 1\\ 0& 2& 0& 1\end{array}\right|.$$

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Calcolare l’inversa della matrice

$$A=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 3& 2\end{array}\right).$$

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Calcolare l’inversa della matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right).$$

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Determinare per quali valori del parametro reale $k$ la matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}k& 2& 1\\ 2& k& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$$

è invertibile.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Determinare il rango della matrice

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& k& 4\\ 3& 3& k+4\end{array}\right)$$

al variare del parametro reale $k$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Risolvere con la regola di Cramer il sistema

$$\{\begin{array}{l}2x+y-z=3\\ x-y+2z=1\\ 3x+2y+z=8\end{array}$$

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Discutere con il teorema di Rouché-Capelli e risolvere con il metodo di Gauss il sistema

$$\{\begin{array}{l}x-y+2z=1\\ 2x+y+z=5\\ 3x+3z=6\end{array}$$

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Discutere al variare del parametro reale $k$ il sistema

$$\{\begin{array}{l}x+y-z=2\\ x+ky+z=1\\ kx+y+z=1\end{array}$$

e risolverlo quando è compatibile.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Le funzioni di domanda e di offerta di due beni sono

$$q_{d1}=24-3p_1+p_2,q_{s1}=2p_1-2,q_{d2}=10+p_1-2p_2,q_{s2}=3p_2-4.$$

Determinare i prezzi e le quantità di equilibrio.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Un’economia con due settori ha matrice tecnologica e domanda finale

$$A=\left(\begin{array}{cc}0,3& 0,2\\ 0,1& 0,4\end{array}\right),d=\left(\begin{array}{c}20\\ 40\end{array}\right).$$

Determinare le produzioni dei due settori che soddisfano la domanda finale.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Un’impresa produce tre articoli. Un’unità del primo richiede $2$ ore nel reparto A, $1$ nel reparto B e $1$ nel reparto C; un’unità del secondo richiede $1$, $3$ e $1$ ore; un’unità del terzo richiede $1$, $2$ e $3$ ore. I reparti A, B e C dispongono di $80$, $130$ e $80$ ore. Determinare le quantità dei tre articoli che impiegano per intero tutte le ore disponibili.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.