Teoria

Studio di funzione e ottimizzazione

Come si trovano e si classificano i massimi e i minimi di una funzione con la derivata prima e la derivata seconda, come si studiano concavità e flessi, come si traccia il grafico con lo schema completo dello studio di funzione e come si risolvono i problemi di ottimizzazione, compresi quelli di profitto, costo medio e ricavo.

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Massimi e minimi
Criterio della derivata prima

Massimi e minimi

1. Massimo e minimo assoluti

Sia $f : A \to R$ e sia $x_{0} \in A$ . Il numero $f (x_{0})$ è il massimo assoluto di $f$ se

f (x) \leq f (x_{0}) per ogni x \in A,

e allora $x_{0}$ si chiama punto di massimo assoluto; con la disuguaglianza $f (x) \geq f (x_{0})$ si definiscono il minimo assoluto e il punto di minimo assoluto. Il valore massimo, se esiste, è uno solo, mentre i punti in cui viene assunto possono essere più di uno. Per esempio $f (x) = x^{2}$ sull’intervallo $[- 1, 2]$ ha minimo $0$ , assunto in $x = 0$ , e massimo $4$ , assunto in $x = 2$ ; la funzione $cos x$ su $R$ ha massimo $1$ , assunto in tutti i punti $x = 2 k π$ con $k$ intero.

2. Massimo e minimo relativi

Un massimo relativo confronta il valore in $x_{0}$ solo con i valori nei punti vicini. Il punto $x_{0} \in A$ è un punto di massimo relativo (o locale) di $f$ se esiste $δ > 0$ tale che

f (x) \leq f (x_{0}) per ogni x \in A con ∣ x - x_{0} ∣ < δ,

e allo stesso modo, con $f (x) \geq f (x_{0})$ , si definisce il punto di minimo relativo. Massimi e minimi si chiamano insieme estremi. Ogni punto di massimo assoluto è anche di massimo relativo, mentre il viceversa è falso. La funzione $f (x) = x^{3} - 3 x$ ha in $x = - 1$ un massimo relativo, $f (- 1) = 2$ , perché vicino a $- 1$ i valori sono minori di $2$ ; il massimo però non è assoluto, perché per esempio $f (3) = 18$ .

y = x^{3} - 3 x

La funzione

f (x) = x^{3} - 3 x

ha un massimo relativo in

x = - 1

e un minimo relativo in

x = 1

; nessuno dei due è assoluto, perché per esempio

f (3) = 18 > 2

Dove si cercano gli estremi

Per il teorema di Fermat, in un punto interno in cui $f$ è derivabile un estremo è possibile solo se la derivata si annulla. Gli estremi di una funzione definita su un intervallo vanno quindi cercati tra

i punti stazionari interni, dove $f^{'} (x_{0}) = 0$ ;
i punti interni in cui $f$ non è derivabile;
gli estremi dell’intervallo che appartengono al dominio.

I tre casi si presentano davvero. La funzione $∣ x ∣$ ha minimo in $0$ , dove non è derivabile, e la funzione $f (x) = x$ su $[0, 1]$ ha massimo in $1$ , dove la derivata vale $1$ e non $0$ . I punti dell’elenco sono soltanto candidati, e i criteri che seguono servono a decidere se sono estremi.

Criterio della derivata prima

Sia $f$ continua in un intervallo $(a, b)$ che contiene $x_{0}$ e derivabile in $(a, b)$ , escluso al più il punto $x_{0}$ .

Se $f^{'} (x) > 0$ in $(a, x_{0})$ e $f^{'} (x) < 0$ in $(x_{0}, b)$ , allora $x_{0}$ è un punto di massimo relativo.
Se $f^{'} (x) < 0$ in $(a, x_{0})$ e $f^{'} (x) > 0$ in $(x_{0}, b)$ , allora $x_{0}$ è un punto di minimo relativo.
Se $f^{'}$ ha lo stesso segno in $(a, x_{0})$ e in $(x_{0}, b)$ , allora $x_{0}$ non è un estremo.

In altre parole, una funzione che cresce a sinistra di $x_{0}$ e decresce a destra ha in $x_{0}$ un massimo. Il criterio si usa con la tabella dei segni di $f^{'}$ . Per $f (x) = x^{3} - 3 x$ si ha $f^{'} (x) = 3 (x + 1) (x - 1)$ , che è positiva per $x < - 1$ , negativa per $- 1 < x < 1$ e positiva per $x > 1$ ; quindi $x = - 1$ è un punto di massimo relativo e $x = 1$ un punto di minimo relativo. Il criterio vale anche nei punti in cui $f$ non è derivabile, purché sia continua.

Dimostrazione

L’idea è confrontare $f (x_{0})$ con $f (x)$ attraverso il teorema di Lagrange. Si considera il primo caso. Sia $x \in (a, x_{0})$ . La funzione è continua su $[x, x_{0}]$ e derivabile in $(x, x_{0})$ , quindi per il teorema di Lagrange esiste $c \in (x, x_{0})$ con

f (x_{0}) - f (x) = f^{'} (c) (x_{0} - x) > 0,

perché $f^{'} (c) > 0$ e $x_{0} - x > 0$ . Sia ora $x \in (x_{0}, b)$ . Allo stesso modo esiste $c \in (x_{0}, x)$ con $f (x) - f (x_{0}) = f^{'} (c) (x - x_{0}) < 0$ , perché $f^{'} (c) < 0$ . In entrambi i casi $f (x) < f (x_{0})$ , quindi $x_{0}$ è un punto di massimo relativo. Il secondo caso è analogo. Nel terzo caso, se per esempio $f^{'} > 0$ da entrambe le parti, gli stessi conti danno $f (x) < f (x_{0})$ a sinistra e $f (x) > f (x_{0})$ a destra, perciò $x_{0}$ non è né di massimo né di minimo.

Attenzione

Un punto stazionario può non essere un estremo. La funzione $f (x) = x^{3}$ ha $f^{'} (0) = 0$ , ma $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ è positiva sia a sinistra sia a destra di $0$ ; per il criterio della derivata prima $x = 0$ non è un estremo, e infatti $f$ è crescente su tutto $R$ .

La teoria continua con 6 altri paragrafi (concavità e flessi, criterio della derivata seconda, schema dello studio di funzione…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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