Teoria

Massimi e minimi liberi e vincolati

Come si trovano e si classificano i massimi e i minimi di una funzione di due variabili, con i punti stazionari e la matrice hessiana, come si cercano gli estremi assoluti su un insieme chiuso e limitato e gli estremi su un vincolo, con la sostituzione e con i moltiplicatori di Lagrange, e come questi metodi risolvono i problemi del profitto, del consumatore e del costo minimo.

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Massimi e minimi relativi e assoluti
Punti stazionari e condizione del primo ordine

Massimi e minimi relativi e assoluti

Sia $f$ una funzione di due variabili definita su un insieme $D \subseteq R^{2}$ e sia $P_{0} = (x_{0}, y_{0}) \in D$ . Il punto $P_{0}$ è un punto di massimo relativo (o locale) di $f$ se esiste un disco $B$ di centro $P_{0}$ tale che

f (x, y) \leq f (x_{0}, y_{0}) per ogni (x, y) \in B \cap D,

ed è un punto di minimo relativo se vale la disuguaglianza opposta, $f (x, y) \geq f (x_{0}, y_{0})$ . Se la disuguaglianza vale per ogni $(x, y) \in D$ , il massimo o il minimo si dice assoluto. Con le disuguaglianze strette per $(x, y) \neq = (x_{0}, y_{0})$ si parla di massimo o di minimo stretto. I massimi e i minimi si chiamano insieme estremi.

In altre parole, $P_{0}$ è di minimo relativo quando nessun punto vicino dà a $f$ un valore più piccolo, e di minimo assoluto quando nessun punto del dominio lo fa. Per esempio $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ ha in $(0, 0)$ un minimo assoluto stretto, perché $f (0, 0) = 0$ e $x^{2} + y^{2} > 0$ per ogni $(x, y) \neq = (0, 0)$ . Le nozioni di disco, punto interno e insieme chiuso e limitato sono quelle dell’argomento sulle funzioni di due variabili.

Punti stazionari e condizione del primo ordine

1. Teorema di Fermat in due variabili

Sia $P_{0} = (x_{0}, y_{0})$ un punto interno al dominio di $f$ , di massimo o di minimo relativo. Se in $P_{0}$ esistono le derivate parziali, allora

{f_{x} (x_{0}, y_{0}) = 0 f_{y} (x_{0}, y_{0}) = 0 cio \overset{e}{ˋ} \nabla f (x_{0}, y_{0}) = (0, 0) .

Il teorema riduce la ricerca degli estremi interni alla soluzione di un sistema di due equazioni in due incognite. Come nel caso di una variabile, la condizione è necessaria ma non sufficiente, e i punti trovati vanno poi classificati.

Dimostrazione

L’idea è di guardare $f$ solo lungo la retta orizzontale per $P_{0}$ , dove diventa una funzione di una variabile. Si pone $g (t) = f (x_{0} + t, y_{0})$ . Poiché $P_{0}$ è interno, $g$ è definita in un intervallo che contiene $t = 0$ al suo interno. Se $P_{0}$ è di massimo relativo per $f$ , allora $g (t) \leq g (0)$ per $t$ vicino a $0$ , quindi $t = 0$ è di massimo relativo per $g$ . La derivata $g^{'} (0)$ è il limite del rapporto incrementale $\frac{f ( x _{0} + t , y _{0} ) - f ( x _{0} , y _{0} )}{t}$ , cioè per definizione $f_{x} (x_{0}, y_{0})$ . Il teorema di Fermat applicato a $g$ dà perciò $f_{x} (x_{0}, y_{0}) = 0$ . Con la retta verticale, $h (t) = f (x_{0}, y_{0} + t)$ , si ottiene allo stesso modo $f_{y} (x_{0}, y_{0}) = 0$ . Il caso del minimo è analogo.

2. Punto stazionario

Un punto interno $P_{0}$ in cui $\nabla f (P_{0}) = (0, 0)$ si chiama punto stazionario (o critico) di $f$ . Per una funzione con derivate parziali in ogni punto di un dominio aperto, i massimi e i minimi relativi vanno cercati solo tra i punti stazionari. Per esempio, per $f (x, y) = x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y$ si ha

{f_{x} = 2 x - 2 = 0 f_{y} = 2 y + 4 = 0 ⟺ {x = 1 y = - 2

quindi l’unico punto stazionario è $(1, - 2)$ . Completando i quadrati si scrive $f (x, y) = (x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} - 5$ . La somma dei due quadrati è positiva in ogni punto diverso da $(1, - 2)$ , quindi $(1, - 2)$ è un minimo assoluto con valore $- 5$ .

3. Punto di sella

Un punto stazionario $P_{0}$ è un punto di sella se in ogni disco di centro $P_{0}$ ci sono punti in cui $f > f (P_{0})$ e punti in cui $f < f (P_{0})$ . Un punto di sella non è quindi né di massimo né di minimo relativo. L’esempio tipico è $f (x, y) = x^{2} - y^{2}$ nell’origine. Il gradiente $(2 x, - 2 y)$ si annulla in $(0, 0)$ , ma lungo l’asse $x$ la funzione vale $x^{2}$ , positiva per $x \neq = 0$ , e lungo l’asse $y$ vale $- y^{2}$ , negativa per $y \neq = 0$ . Il nome viene dalla forma del grafico vicino all’origine, simile a una sella, con quote che aumentano spostandosi lungo l’asse $x$ e diminuiscono spostandosi lungo l’asse $y$ .

z = f(t, 0) = t^2

z = f(0, t) = -t^2

Restrizioni di

f (x, y) = x^{2} - y^{2}

ai due assi: in

t = 0

la prima ha un minimo e la seconda un massimo, quindi

(0, 0)

è un punto di sella

La teoria continua con 6 altri paragrafi (matrice hessiana e test dellhessiana, casi indecisi, massimi e minimi assoluti su insiemi chiusi e limitati…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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