Funzioni di due variabili

Determinare il dominio naturale di $f(x,y)=\sqrt{x-y^2}$ e dire se è un insieme aperto, chiuso, limitato.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Determinare il dominio naturale di $f(x,y)=\ln (x^2+y^2-9)$ e dire se è un insieme aperto, chiuso, limitato.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Determinare il dominio naturale di $f(x,y)=\frac{\sqrt{4-x^2-y^2}}{x-y}$ e dire se è un insieme aperto, chiuso, limitato.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Determinare le curve di livello di $f(x,y)=x^2-y$ e la curva di livello che passa per il punto $(2,1)$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Calcolare le derivate parziali di $f(x,y)=x^3-4x^2{y}^2+2y$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Calcolare il gradiente di $f(x,y)=x\ln y+e^{x-y}$, definita per $y>0$, nel punto $(1,1)$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Calcolare le derivate seconde di $f(x,y)=x^2{e}^y$, verificare che le derivate miste coincidono e scrivere la matrice hessiana nel punto $(1,0)$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di $f(x,y)=x^{3}y-2y^2$ nel punto di coordinate $x=1$, $y=1$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Un’impresa ha funzione di produzione $Q(K,L)=10K^{\frac{1}{2}}{L}^{\frac{1}{2}}$ e impiega $K=100$ e $L=400$. Usando il differenziale, stimare la produzione quando il capitale sale a $102$ e il lavoro scende a $396$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Siano $f(x,y)=x{y}^2$ e la curva $x(t)=t^2$, $y(t)=3-t$. Calcolare $g^{\prime }(1)$, dove $g(t)=f(x(t),y(t))$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Dimostrare che non esiste il limite $\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Data la funzione di produzione $Q(K,L)=5K^{\frac{2}{5}}{L}^{\frac{3}{5}}$, calcolare la produzione e le produttività marginali per $K=32$ e $L=32$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Un consumatore ha funzione di utilità $U(x,y)=x{y}^2$, con $x>0$ e $y>0$. Scrivere la curva di indifferenza per il paniere $(4,2)$ e calcolare in quel punto il saggio marginale di sostituzione $\frac{U_x}{U_y}$.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

Stabilire il tipo di rendimenti di scala della funzione di produzione $Q(K,L)=3K^{\frac{1}{2}}{L}^{\frac{3}{4}}$ e calcolare per quale numero viene moltiplicata la produzione quando capitale e lavoro raddoppiano.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.