Teoria

Matrici, determinanti e sistemi lineari

Come si opera con le matrici, come si calcolano determinante, inversa e rango, quando un sistema lineare ha soluzioni e come si trovano con Cramer, Rouché-Capelli e Gauss, anche in presenza di un parametro, con l'equilibrio di due mercati e il modello di Leontief.

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Matrici e operazioni
Matrici quadrate

Matrici e operazioni

1. Matrice

Una matrice $m \times n$ è una tabella di numeri reali disposti su $m$ righe e $n$ colonne:

A = a_{11} a_{21} ⋮ a_{m 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{m 2} \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{mn} .

Il numero $a_{ij}$ è l’elemento di posto $(i, j)$ , cioè della riga $i$ e della colonna $j$ , e si scrive anche $A = (a_{ij})$ . Una matrice $1 \times n$ è un vettore riga, una matrice $m \times 1$ è un vettore colonna. Per esempio

A = (13 2 - 1 04)

è una matrice $2 \times 3$ con $a_{12} = 2$ e $a_{23} = 4$ . Le matrici raccolgono in un solo oggetto i coefficienti di un sistema lineare, oppure dati disposti in tabella.

2. Somma e prodotto per uno scalare

Siano $A = (a_{ij})$ e $B = (b_{ij})$ due matrici $m \times n$ e sia $λ \in R$ . La somma $A + B$ e il prodotto per lo scalare $λ$ si calcolano elemento per elemento:

A + B = (a_{ij} + b_{ij}), λ A = (λ a_{ij}) .

La somma è definita solo tra matrici con le stesse dimensioni, ed è commutativa e associativa; la matrice nulla $O$ è l’elemento neutro. Con la matrice $A$ della definizione precedente e $B = (2 - 1 0112)$ si ha

A + B = (322016), 2 A = (26 4 - 2 08) .

3. Prodotto righe per colonne

Siano $A$ una matrice $m \times n$ e $B$ una matrice $n \times p$ , cioè il numero di colonne di $A$ è uguale al numero di righe di $B$ . Il prodotto $A B$ è la matrice $m \times p$ il cui elemento di posto $(i, j)$ si ottiene moltiplicando la riga $i$ di $A$ per la colonna $j$ di $B$ , elemento per elemento, e sommando:

(A B)_{ij} = a_{i 1} b_{1 j} + a_{i 2} b_{2 j} + \dots + a_{in} b_{nj} = k = 1 \sum n a_{ik} b_{k j} .

Con $A = (13 2 - 1 04)$ , di tipo $2 \times 3$ , e $C = 12 - 1 013$ , di tipo $3 \times 2$ , il prodotto $A C$ è $2 \times 2$ :

A C = (1 + 4 + 0 3 - 2 - 4 0 + 2 + 0 0 - 1 + 12) = (5 - 3 211) .

Il prodotto $C A$ è invece una matrice $3 \times 3$ .

4. Proprietà del prodotto

Per matrici con dimensioni tali che i prodotti e le somme siano definiti, e per ogni $λ \in R$ , valgono:

associativa: $(A B) C = A (B C)$ ;
distributive: $A (B + C) = A B + A C$ e $(A + B) C = A C + B C$ ;
compatibilità con lo scalare: $(λ A) B = A (λ B) = λ (A B)$ .

Le proprietà seguono scrivendo l’elemento generico dei due membri. Per l’associativa si scrive $A B C$ senza parentesi, e per una matrice quadrata si definiscono le potenze $A^{2} = AA$ , $A^{3} = AAA$ e così via.

Attenzione

Il prodotto di matrici non è commutativo, anche quando $A B$ e $B A$ sono entrambi definiti e hanno le stesse dimensioni. Per esempio

(1011) (1101) = (2111), (1101) (1011) = (1112) .

Inoltre il prodotto di due matrici non nulle può essere la matrice nulla, perché $(1111) (1 - 1 - 1 1) = O$ . Quindi da $A B = O$ non segue che $A = O$ oppure $B = O$ .

5. Matrice trasposta

La trasposta di una matrice $A$ di tipo $m \times n$ è la matrice $A^{T}$ di tipo $n \times m$ che ha per righe le colonne di $A$ , cioè $(A^{T})_{ij} = a_{j i}$ . Valgono

(A + B)^{T} = A^{T} + B^{T}, (λ A)^{T} = λ A^{T}, (A B)^{T} = B^{T} A^{T},

e nell’ultima formula l’ordine dei fattori si inverte. Per esempio $(13 2 - 1 04)^{T} = 120 3 - 1 4$ .

Matrici quadrate

1. Matrice quadrata e matrice identità

Una matrice è quadrata di ordine $n$ se ha $n$ righe e $n$ colonne. Gli elementi $a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn}$ formano la diagonale principale. La matrice identità $I_{n}$ è la matrice quadrata di ordine $n$ con $1$ sulla diagonale principale e $0$ altrove:

I_{2} = (1001), I_{3} = 100010001 .

Per ogni matrice $A$ quadrata di ordine $n$ vale $A I_{n} = I_{n} A = A$ , perché il prodotto di $A$ per la colonna $j$ di $I_{n}$ è la colonna $j$ di $A$ ; nel prodotto di matrici l’identità ha quindi il ruolo del numero $1$ .

2. Matrici diagonali e triangolari

Sia $A$ una matrice quadrata di ordine $n$ .

$A$ è diagonale se $a_{ij} = 0$ per ogni $i \neq = j$ , cioè se gli elementi fuori dalla diagonale principale sono nulli.
$A$ è triangolare superiore se $a_{ij} = 0$ per ogni $i > j$ , cioè se gli elementi sotto la diagonale principale sono nulli.
$A$ è triangolare inferiore se $a_{ij} = 0$ per ogni $i < j$ .

Il prodotto di due matrici diagonali è diagonale e si ottiene moltiplicando gli elementi diagonali corrispondenti, quindi le potenze di una matrice diagonale si calcolano subito:

(20 0 - 1)^{3} = (80 0 - 1) .

Il metodo di Gauss trasforma una matrice quadrata in una matrice triangolare superiore, il cui determinante è il prodotto degli elementi diagonali.

3. Matrice simmetrica

Una matrice quadrata $A$ è simmetrica se $A^{T} = A$ , cioè se $a_{ij} = a_{j i}$ per ogni $i$ e $j$ ; gli elementi sono disposti in modo simmetrico rispetto alla diagonale principale. Per esempio $(14 4 - 3)$ è simmetrica. Per ogni matrice $B$ la matrice $B B^{T}$ è simmetrica, poiché $(B B^{T})^{T} = (B^{T})^{T} B^{T} = B B^{T}$ . Le matrici simmetriche compaiono nello studio delle funzioni di due variabili, dove la matrice hessiana è simmetrica per il teorema di Schwarz.

La teoria continua con 8 altri paragrafi (determinante, proprietà del determinante, matrice inversa…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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