Funzioni di due variabili

1. Il piano ℝ²

L’insieme ${\mathbb{R}}^2$ è formato da tutte le coppie ordinate $(x,y)$ di numeri reali. Fissato nel piano un riferimento cartesiano ortogonale, a ogni coppia corrisponde un solo punto $P=(x,y)$, e viceversa, quindi ${\mathbb{R}}^2$ si identifica con il piano. La coppia è ordinata, perciò $(1,3)$ e $(3,1)$ sono punti diversi. Una funzione di due variabili associa un numero a ogni punto di una regione del piano, e per descrivere queste regioni servono le nozioni di distanza e di intorno.

2. Distanza tra due punti

La distanza tra i punti $P=(x_1,y_1)$ e $Q=(x_2,y_2)$ è

Le differenze $x_2-x_1$ e $y_2-y_1$ sono i cateti di un triangolo rettangolo che ha per ipotenusa il segmento $PQ$, quindi la formula è il teorema di Pitagora. Per $P=(1,1)$ e $Q=(4,5)$ si ha $d(P,Q)=\sqrt{3^2+4^2}=5$. La distanza di $P=(x,y)$ dall’origine $O$ è $\sqrt{x^2+y^2}$, e i punti a distanza $r$ da un punto $(x_0,y_0)$ formano la circonferenza di equazione $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=r^2$.

3. Intorno circolare

Siano $P_0=(x_0,y_0)$ un punto e $r>0$ un numero reale. L’intorno circolare di centro $P_0$ e raggio $r$ è l’insieme dei punti che distano da $P_0$ meno di $r$:

È il disco di centro $P_0$ e raggio $r$ senza la circonferenza di bordo. Gli intorni hanno nel piano il ruolo che gli intervalli $(x_0-r,x_0+r)$ hanno sulla retta. Per esempio $(2,3)$ appartiene a $B((1,2),2)$, perché dista $\sqrt{2}<2$ dal centro, mentre $(3,4)$ non vi appartiene, perché dista $\sqrt{8}>2$.

4. Punti interni e di frontiera

Siano $A$ un sottoinsieme del piano e $P_0$ un punto.

• $P_0$ è interno ad $A$ se esiste un intorno $B(P_0,r)$ contenuto in $A$.
• $P_0$ è esterno ad $A$ se esiste un intorno $B(P_0,r)$ che non contiene punti di $A$.
• $P_0$ è di frontiera per $A$ se ogni intorno di $P_0$ contiene sia punti di $A$ sia punti che non stanno in $A$.

L’insieme dei punti di frontiera si chiama frontiera di $A$. Un punto di frontiera può appartenere ad $A$ oppure no. Per il disco $A=\{(x,y):x^2+y^2<1\}$ si considera un punto $P_0$ con $x^2+y^2<1$. La sua distanza dall’origine è $d(P_0,O)<1$, quindi la sua distanza dalla circonferenza è $1-d(P_0,O)$. Il disco di centro $P_0$ e raggio $r=1-d(P_0,O)$ è perciò contenuto in $A$, e $P_0$ è interno. I punti della circonferenza $x^2+y^2=1$ sono invece di frontiera, perché ogni disco centrato in uno di essi contiene punti più vicini all’origine e punti più lontani.

5. Insiemi aperti, chiusi e limitati

Sia $A$ un sottoinsieme del piano.

• $A$ è aperto se tutti i suoi punti sono interni, cioè se non contiene nessuno dei suoi punti di frontiera.
• $A$ è chiuso se contiene tutti i suoi punti di frontiera.
• $A$ è limitato se è contenuto in un disco abbastanza grande, cioè se esiste $R>0$ tale che $d(P,O)\le R$ per ogni $P\in A$.

Il disco $x^2+y^2<1$ è aperto e limitato; il disco $x^2+y^2\le 1$ è chiuso e limitato; il semipiano $y>0$ è aperto e non è limitato. Di regola le disuguaglianze strette tra funzioni continue danno insiemi aperti e quelle larghe danno insiemi chiusi. Gli insiemi chiusi e limitati sono quelli su cui vale il teorema di Weierstrass, e torneranno nell’argomento sui massimi e minimi liberi e vincolati.

1. Funzione di due variabili

Sia $D$ un sottoinsieme di ${\mathbb{R}}^2$. Una funzione di due variabili $f:D\to \mathbb{R}$ associa a ogni punto $(x,y)\in D$ uno e un solo numero reale $f(x,y)$. L’insieme $D$ è il dominio e le variabili $x$ e $y$ sono indipendenti, cioè si possono far variare separatamente. Per esempio $f(x,y)=x^{2}y-3y$ in $(2,1)$ vale $4-3=1$. Molte grandezze economiche dipendono da più di una variabile; per esempio la quantità prodotta dipende dal capitale e dal lavoro impiegati, e l’utilità di un consumatore dalle quantità dei beni che acquista.

2. Dominio naturale

Quando una funzione di due variabili è data solo con la sua formula, il suo dominio naturale è l’insieme dei punti $(x,y)$ per cui la formula ha senso. Le condizioni sono le stesse delle funzioni di una variabile:

• i denominatori sono diversi da zero;
• gli argomenti delle radici di indice pari sono maggiori o uguali a zero;
• gli argomenti dei logaritmi sono strettamente positivi.

La differenza sta nelle soluzioni, che sono regioni del piano e si rappresentano con un disegno. Le curve di bordo più frequenti sono rette, parabole e circonferenze.

• La retta $ax+by+c=0$ divide il piano in due semipiani; in uno vale $ax+by+c>0$, nell’altro $ax+by+c<0$, e per sapere quale è quale si sostituisce un punto che non sta sulla retta, di solito l’origine.
• La disuguaglianza $y>g(x)$ individua i punti che stanno sopra il grafico di $g$.
• La disuguaglianza $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2<r^2$ individua i punti interni al cerchio di centro $(x_0,y_0)$ e raggio $r$.

Nei disegni le curve di bordo che appartengono al dominio si tracciano con la linea continua, quelle che non vi appartengono con la linea tratteggiata.