Esercizi svolti · Scheda 3

Funzioni inverse e funzioni composte

Teoria usata: Funzione inversa Funzione composta Funzione iniettiva Funzione esponenziale Logaritmo Vertice della parabola

Vai a: Esercizio 1 Esercizio 2 Esercizio 3

Esercizio 1

Determinare l’inversa di $f(x) = 2e^{x} + 1$ , con il suo dominio, e verificare che $f^{-1}(f(x)) = x$ .

y = 2e^{x} + 1 \iff e^{x} = \frac{y - 1}{2} \iff x = \ln\frac{y - 1}{2}, \qquad y > 1

f^{-1}(y) = \ln\frac{y - 1}{2}, \qquad f^{-1} : (1, +\infty) \to \mathbb{R}

f^{-1}(f(x)) = \ln\frac{2e^{x} + 1 - 1}{2} = \ln e^{x} = x

La funzione $e^{x}$ è crescente, quindi anche $2e^{x} + 1$ lo è, ed è perciò iniettiva su $\mathbb{R}$ . Per trovare l’inversa si risolve l’equazione $y = f(x)$ rispetto a $x$ : si isola l’esponenziale e poi si prende il logaritmo naturale, che è l’inversa di $e^{x}$ . Il logaritmo richiede un argomento positivo, perciò $\dfrac{y - 1}{2} > 0$ , cioè $y > 1$ . Il dominio dell’inversa è l’immagine di $f$ , e infatti $f(x) = 2e^{x} + 1$ assume tutti e soli i valori maggiori di $1$ , poiché $e^{x}$ assume tutti i valori positivi. La verifica conferma che $f^{-1}$ disfa ciò che fa $f$ .

Esercizio 2

Siano $f(x) = \sqrt{x}$ e $g(x) = x - 4$ . Scrivere le funzioni composte $g \circ f$ e $f \circ g$ e determinarne i domini.

(g \circ f)(x) = g(\sqrt{x}) = \sqrt{x} - 4, \qquad D_{g \circ f} = [0, +\infty)

(f \circ g)(x) = f(x - 4) = \sqrt{x - 4}, \qquad x - 4 \geq 0 \iff x \geq 4, \qquad D_{f \circ g} = [4, +\infty)

Nella funzione composta $g \circ f$ si applica prima $f$ e poi $g$ . Per $g \circ f$ si calcola prima $\sqrt{x}$ , che richiede $x \geq 0$ , e poi si sottrae $4$ , operazione che non pone condizioni; il dominio è quindi $[0, +\infty)$ . Per $f \circ g$ si calcola prima $x - 4$ e poi se ne prende la radice, che richiede $x - 4 \geq 0$ ; il dominio è $[4, +\infty)$ . Le due composte sono diverse, sia nella formula sia nel dominio; per esempio, per $x = 9$ la prima vale $3 - 4 = -1$ e la seconda $\sqrt{5}$ .

Esercizio 3

Determinare l’inversa della funzione $f(x) = x^2 - 4x + 1$ ristretta all’intervallo $[2, +\infty)$ , con il suo dominio.

f(x) = (x - 2)^2 - 3, \qquad x \geq 2

y = (x - 2)^2 - 3 \iff (x - 2)^2 = y + 3 \iff x - 2 = \sqrt{y + 3}

f^{-1}(y) = 2 + \sqrt{y + 3}, \qquad f^{-1} : [-3, +\infty) \to [2, +\infty)

Su tutto $\mathbb{R}$ la funzione non è iniettiva, perché la parabola assume due volte ogni valore maggiore del minimo. Completando il quadrato si vede che il vertice è $(2, -3)$ ; a destra del vertice la funzione è crescente, quindi la sua restrizione a $[2, +\infty)$ è iniettiva e ha immagine $[-3, +\infty)$ . Per trovare l’inversa si risolve $y = (x - 2)^2 - 3$ rispetto a $x$ . Estraendo la radice si sceglie il segno positivo, perché $x \geq 2$ implica $x - 2 \geq 0$ . L’inversa è $f^{-1}(y) = 2 + \sqrt{y + 3}$ , definita per $y \geq -3$ ; come controllo, $f(3) = -2$ e $f^{-1}(-2) = 2 + 1 = 3$ .