Domini naturali di funzioni

La funzione è un quoziente di polinomi, quindi l’unica condizione è che il denominatore sia diverso da zero. Il denominatore è una differenza di quadrati e si scompone in $(x-3)(x+3)$; un prodotto è nullo quando lo è almeno uno dei fattori, perciò il denominatore si annulla solo in $x=3$ e in $x=-3$. Il numeratore non pone condizioni, quindi in $x=-2$ la funzione è definita e vale $0$. Il dominio è quindi $\mathbb{R}$ privato dei due punti $-3$ e $3$, che scritto con gli intervalli è l’unione di tre intervalli aperti.

La radice ha indice pari, quindi il suo argomento deve essere maggiore o uguale a zero; inoltre l’argomento è una frazione, e il suo denominatore deve essere diverso da zero. Le due condizioni si soddisfano insieme studiando il segno del quoziente. Il numeratore è positivo per $x>1$, il denominatore per $x>-4$, e il quoziente è positivo dove i due fattori hanno lo stesso segno, cioè per $x<-4$ e per $x>1$. Il quoziente vale zero in $x=1$, che quindi appartiene al dominio, poiché $\sqrt{0}=0$. Il punto $x=-4$ annulla il denominatore ed è escluso. Il dominio è perciò $(-\infty ,-4)\cup [1,+\infty )$.

La funzione è la somma di due termini, e ciascuno pone le sue condizioni, che devono valere insieme. L’argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo. Il polinomio $x^2-4x=x(x-4)$ ha per grafico una parabola con la concavità verso l’alto che si annulla in $0$ e in $4$, quindi è positiva fuori dall’intervallo $[0,4]$. Nel secondo termine la radice sta al denominatore, perciò il suo argomento deve essere strettamente positivo, e non solo maggiore o uguale a zero, perché $\sqrt{0}=0$ annullerebbe il denominatore; si ottiene $x<6$. Il dominio è l’intersezione delle soluzioni delle due condizioni, cioè $(-\infty ,0)\cup (4,6)$, come mostra lo schema.