Teoria

Capitalizzazione, rendite e ammortamenti

Come cresce un capitale in capitalizzazione semplice, composta e continua, come si riportano gli importi a una stessa data con il valore attuale e i tassi equivalenti, come si valutano rendite e piani di ammortamento, e come si giudica un investimento con il VAN e il TIR.

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Interesse semplice e interesse composto
Valore attuale e sconto

Interesse semplice e interesse composto

1. Capitale, interesse e montante

Chi presta oggi un capitale $C$ riceve dopo un tempo $t$ , misurato in anni, una somma maggiore, il montante $M$ . La differenza $I = M - C$ è l’interesse, cioè il compenso per avere rinunciato alla disponibilità del denaro. Il tasso annuo di interesse $i$ è l’interesse prodotto in un anno da un capitale di $1$ euro, e si scrive come numero decimale o come percentuale; per esempio $i = 0{,}05$ equivale a $i = 5\%$ . Il fattore di montante è il rapporto $\dfrac{M}{C}$ , cioè il valore dopo il tempo $t$ di $1$ euro investito oggi; la legge che lo esprime in funzione di $t$ si chiama regime di capitalizzazione. I due regimi usati in pratica differiscono per il trattamento degli interessi già maturati.

2. Capitalizzazione semplice

In capitalizzazione semplice l’interesse è proporzionale al capitale e al tempo, $I = C\,i\,t$ , quindi il montante è

M = C\,(1 + i\,t), \qquad t \geq 0 .

Gli interessi maturati non producono a loro volta interessi, perciò ogni anno il capitale riceve lo stesso interesse $C\,i$ e il montante è una funzione lineare del tempo, con pendenza $C\,i$ . Si usa per operazioni di durata inferiore all’anno. Un capitale di $2000$ euro al $4\%$ per $3$ anni produce un interesse di $2000 \cdot 0{,}04 \cdot 3 = 240$ euro, quindi il montante è $2240$ euro; per $9$ mesi si pone $t = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$ , e l’interesse è $60$ euro.

3. Capitalizzazione composta

In capitalizzazione composta gli interessi maturati alla fine di ogni anno si aggiungono al capitale e producono interessi negli anni successivi. Alla fine di ogni anno il montante viene quindi moltiplicato per $1 + i$ , e dopo $n$ anni vale $C\,(1 + i)^{n}$ , cioè il termine di una progressione geometrica di ragione $1 + i$ . La formula si estende a ogni tempo $t \geq 0$ :

M = C\,(1 + i)^{t} .

Il montante è una funzione esponenziale del tempo. Con $C = 2000$ euro e $i = 4\%$ , dopo $3$ anni si ha $M = 2000 \cdot 1{,}04^{3} = 2249{,}73$ euro, cioè $9{,}73$ euro in più che in capitalizzazione semplice, e la differenza è data dagli interessi prodotti dagli interessi dei primi due anni.

M = 1000 \cdot 1{,}1^{t}

M = 1000\,(1 + 0{,}1\,t)

Montante di

1000

euro al

10%

annuo in capitalizzazione composta e semplice: i due montanti coincidono per

t = 1

4. Confronto tra i due regimi

Sia $i > 0$ . Allora

\begin{cases} (1 + i)^{t} < 1 + i\,t & \text{se } 0 < t < 1 , \\[4pt] (1 + i)^{t} > 1 + i\,t & \text{se } t > 1 , \end{cases}

e i due fattori di montante coincidono per $t = 0$ e per $t = 1$ . Il risultato segue dalla convessità della funzione esponenziale, trattata nell’argomento sullo studio di funzione e l’ottimizzazione; infatti il grafico di $(1 + i)^{t}$ sta sotto la retta per i punti di ascissa $0$ e $1$ tra questi due punti, e sopra di essa fuori. Per durate inferiori all’anno la capitalizzazione semplice dà quindi il montante maggiore. Con $1000$ euro al $10\%$ per sei mesi si ottengono $1050$ euro in regime semplice e $1000 \cdot \sqrt{1{,}1} \approx 1048{,}81$ euro in regime composto.

Valore attuale e sconto

1. Valore attuale

Il valore attuale $V$ di un importo $M$ disponibile tra $t$ anni è il capitale che, investito oggi, ha montante $M$ dopo il tempo $t$ . Si ottiene risolvendo rispetto a $C$ la formula del montante:

V = M\,(1 + i)^{-t} \quad \text{(regime composto)}, \qquad V = \frac{M}{1 + i\,t} \quad \text{(regime semplice)} .

Il passaggio da $M$ a $V$ si chiama attualizzazione, e il numero $v = \dfrac{1}{1 + i}$ è il fattore di sconto annuo, con cui $V = M\,v^{t}$ . Il valore attuale serve a confrontare importi disponibili a date diverse, riportandoli tutti a oggi. Al $3\%$ composto, $5000$ euro disponibili tra $4$ anni valgono oggi $5000 \cdot 1{,}03^{-4} \approx 4442{,}44$ euro. Poiché $0 < v < 1$ , il valore attuale diminuisce quando la scadenza si allontana e tende a $0$ per $t \to +\infty$ .

V = 1000 \cdot 1{,}05^{-t}

V = 1000 \cdot 1{,}1^{-t}

Valore attuale di

1000

euro disponibili tra

t

anni, al

5%

e al

10%

: a tasso maggiore corrisponde un valore attuale minore

2. Sconto e tasso di sconto

Lo sconto è la differenza $D = M - V$ tra l’importo a scadenza e il suo valore attuale; è l’interesse visto da chi anticipa il pagamento. Il tasso annuo di sconto $d$ è lo sconto su $1$ euro esigibile tra un anno, quindi

d = 1 - v = 1 - \frac{1}{1 + i} = \frac{i}{1 + i} .

Nello sconto commerciale, usato per operazioni brevi, lo sconto è proporzionale all’importo e al tempo, $D = M\,d\,t$ , quindi

V = M\,(1 - d\,t), \qquad 0 \leq t < \frac{1}{d} .

La limitazione su $t$ serve a mantenere positivo il valore attuale. Una cambiale di $5000$ euro che scade tra $9$ mesi, scontata oggi al tasso commerciale $d = 4\%$ , dà un valore attuale di $5000 \left( 1 - 0{,}04 \cdot \dfrac{3}{4} \right) = 4850$ euro. Con lo sconto razionale, cioè l’attualizzazione in regime semplice, e il tasso $i = 4\%$ si otterrebbe invece $\dfrac{5000}{1{,}03} \approx 4854{,}37$ euro.

3. Tempo e tasso incogniti

In capitalizzazione composta, dati $C$ , $M$ con $M > C > 0$ e il tasso $i > 0$ , il tempo necessario perché $C$ diventi $M$ è

t = \frac{\ln \dfrac{M}{C}}{\ln(1 + i)} ;

dati $C$ , $M$ e $t > 0$ , il tasso che li lega è

i = \left( \frac{M}{C} \right)^{\frac{1}{t}} - 1 .

Le formule seguono da $(1 + i)^{t} = \dfrac{M}{C}$ , prendendo il logaritmo dei due membri nel primo caso e la radice $t$ -esima nel secondo, come nell’argomento sulle funzioni reali e i modelli economici. Per esempio $1000$ euro al $4\%$ diventano $1500$ euro dopo $t = \dfrac{\ln 1{,}5}{\ln 1{,}04} \approx 10{,}34$ anni, e un capitale che in $2$ anni passa da $1000$ a $1210$ euro è stato investito al tasso $\sqrt{1{,}21} - 1 = 10\%$ .

La teoria continua con 6 altri paragrafi (tassi equivalenti e tasso nominale, capitalizzazione continua, equivalenza finanziaria e scadenza media…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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