Esercizi svolti · Scheda 2

Bilanci di calore con cambiamenti di stato

Teoria usata: Calore latente Capacità termica e calore specifico Bilanci di calore con cambiamenti di stato Temperatura di equilibrio

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Esercizio 1

Calcolare il calore necessario per trasformare $0, 200 kg$ di ghiaccio a $- 30, 0^{\circ} C$ in acqua a $40, 0^{\circ} C$ , e disegnare la temperatura in funzione del calore assorbito. Calori specifici: $c_{g} = 2090 J/ (kg \cdot K)$ per il ghiaccio, $c_{a} = 4186 J/ (kg \cdot K)$ per l’acqua; calore latente di fusione $λ_{f} = 3, 33 \cdot 1 0^{5} J/kg$ .

Q = Q_{1} m c_{g} (0 - T_{i}) + Q_{2} m λ_{f} + Q_{3} m c_{a} (T_{f} - 0)

Q_{1} = 0, 200 \cdot 2090 \cdot 30, 0 J = 1, 25 \cdot 1 0^{4} J

Q_{2} = 0, 200 \cdot 3, 33 \cdot 1 0^{5} J = 6, 66 \cdot 1 0^{4} J

Q_{3} = 0, 200 \cdot 4186 \cdot 40, 0 J = 3, 35 \cdot 1 0^{4} J

Q = (1, 25 + 6, 66 + 3, 35) \cdot 1 0^{4} J \approx 1, 13 \cdot 1 0^{5} J

Temperatura del campione in funzione del calore assorbito, con

Q

1 0^{4} J

; durante la fusione la temperatura resta

0^{\circ} C

Il processo si divide in tre fasi, perché la legge $Q = m c Δ T$ vale solo finché la sostanza non cambia stato. Nella prima fase il ghiaccio si scalda fino a $0^{\circ} C$ con il calore specifico del ghiaccio; nella seconda fonde a temperatura costante e assorbe il calore latente $m λ_{f}$ ; nella terza l’acqua liquida si scalda fino a $40^{\circ} C$ con il calore specifico dell’acqua. Il calore totale è la somma dei tre termini, tutti positivi perché il campione assorbe calore in ogni fase.

Il grafico mostra che la fusione richiede più calore delle due fasi di riscaldamento messe insieme: sul tratto orizzontale il calore assorbito non cambia la temperatura. Le pendenze dei tratti inclinati sono $\frac{1}{m c}$ , quindi il tratto del ghiaccio è circa due volte più ripido di quello dell’acqua, poiché $c_{g}$ è circa la metà di $c_{a}$ .

Esercizio 2

In $0, 400 kg$ di acqua a $30, 0^{\circ} C$ si mettono $0, 0500 kg$ di ghiaccio a $0^{\circ} C$ . Il recipiente ha capacità termica trascurabile ed è isolato dall’esterno. Determinare lo stato finale e la temperatura di equilibrio ( $c_{a} = 4186 J/ (kg \cdot K)$ , $λ_{f} = 3, 33 \cdot 1 0^{5} J/kg$ ).

Q_{disp} = m_{a} c_{a} (T_{a} - 0) = 0, 400 \cdot 4186 \cdot 30, 0 J = 5, 02 \cdot 1 0^{4} J

Q_{fus} = m_{g} λ_{f} = 0, 0500 \cdot 3, 33 \cdot 1 0^{5} J = 1, 67 \cdot 1 0^{4} J

Q_{disp} > Q_{fus} ⟹ il ghiaccio fonde tutto

m_{g} λ_{f} + m_{g} c_{a} (T_{e} - 0) + m_{a} c_{a} (T_{e} - T_{a}) = 0

T_{e} = \frac{m _{a} c _{a} T _{a} - m _{g} λ _{f}}{( m _{a} + m _{g} ) c _{a}}

T_{e} = \frac{50 232 - 16 650}{0 , 450 \cdot 4186}^{\circ} C = \frac{33 582}{1883 , 7}^{\circ} C \approx 17, 8^{\circ} C

Prima di scrivere il bilancio si stabilisce se il ghiaccio fonde tutto. Il calore che l’acqua cederebbe raffreddandosi fino a $0^{\circ} C$ è maggiore del calore che serve per fondere il ghiaccio, quindi il ghiaccio fonde completamente e la temperatura finale è superiore a $0^{\circ} C$ .

Nel bilancio compaiono tre termini: la fusione del ghiaccio, il riscaldamento da $0^{\circ} C$ a $T_{e}$ dell’acqua che proviene dal ghiaccio, con il calore specifico dell’acqua, e il raffreddamento dell’acqua iniziale. La loro somma è nulla perché il sistema è isolato. L’equazione è lineare in $T_{e}$ e dà $T_{e} \approx 17, 8^{\circ} C$ . Come controllo, senza la fusione la temperatura di equilibrio sarebbe la media pesata $\frac{0 , 400 \cdot 30 , 0}{0 , 450}^{\circ} C \approx 26, 7^{\circ} C$ ; il valore trovato è più basso perché una parte del calore dell’acqua è servita a fondere il ghiaccio.

Esercizio 3

In $0, 500 kg$ di acqua a $20, 0^{\circ} C$ si mettono $0, 300 kg$ di ghiaccio a $- 10, 0^{\circ} C$ . Il recipiente ha capacità termica trascurabile ed è isolato dall’esterno. Determinare la temperatura finale e la massa di ghiaccio che fonde ( $c_{a} = 4186 J/ (kg \cdot K)$ , $c_{g} = 2090 J/ (kg \cdot K)$ , $λ_{f} = 3, 33 \cdot 1 0^{5} J/kg$ ).

Q_{disp} = m_{a} c_{a} (T_{a} - 0) = 0, 500 \cdot 4186 \cdot 20, 0 J = 4, 19 \cdot 1 0^{4} J

Q_{risc} = m_{g} c_{g} (0 - T_{g}) = 0, 300 \cdot 2090 \cdot 10, 0 J = 6, 27 \cdot 1 0^{3} J

Q_{fus} = Q_{risc} + m_{g} λ_{f} = (6270 + 99900) J = 1, 06 \cdot 1 0^{5} J

Q_{risc} < Q_{disp} < Q_{fus} ⟹ T_{e} = 0^{\circ} C

m_{fusa} = \frac{Q _{disp} - Q _{risc}}{λ _{f}} = \frac{41 860 - 6270}{3 , 33 \cdot 1 0 ^{5}} kg \approx 0, 107 kg

Si confrontano i calori prendendo $0^{\circ} C$ come riferimento. Il calore che l’acqua può cedere scendendo a $0^{\circ} C$ basta a scaldare il ghiaccio fino a $0^{\circ} C$ , ma è minore del calore che servirebbe per fonderlo tutto. Perciò il ghiaccio fonde solo in parte e lo stato finale è una miscela di acqua e ghiaccio, che a pressione atmosferica può stare in equilibrio solo a $T_{e} = 0^{\circ} C$ .

Con $T_{e} = 0^{\circ} C$ l’acqua cede esattamente $Q_{disp}$ . Una parte di questo calore porta il ghiaccio da $- 10^{\circ} C$ a $0^{\circ} C$ , e il resto fonde la massa $m_{fusa}$ , che si ottiene dividendo per il calore latente. Alla fine restano $0, 193 kg$ di ghiaccio e $0, 607 kg$ di acqua, entrambi a $0^{\circ} C$ . Scrivere subito il bilancio con $T_{e}$ incognita e la fusione completa darebbe una temperatura negativa, incompatibile con l’ipotesi che tutto il ghiaccio sia fuso.

Esercizio 4

In un recipiente contenente $0, 500 kg$ di acqua a $15, 0^{\circ} C$ si immettono $0, 0200 kg$ di vapore acqueo a $100^{\circ} C$ . Il recipiente ha capacità termica trascurabile ed è isolato dall’esterno. Calcolare la temperatura di equilibrio ( $c_{a} = 4186 J/ (kg \cdot K)$ , $λ_{v} = 2, 26 \cdot 1 0^{6} J/kg$ ).

Q_{cond} = m_{v} λ_{v} = 0, 0200 \cdot 2, 26 \cdot 1 0^{6} J = 4, 52 \cdot 1 0^{4} J

m_{a} c_{a} (100 - T_{a}) = 0, 500 \cdot 4186 \cdot 85, 0 J = 1, 78 \cdot 1 0^{5} J > Q_{cond}

- m_{v} λ_{v} + m_{v} c_{a} (T_{e} - 100) + m_{a} c_{a} (T_{e} - T_{a}) = 0

T_{e} = \frac{m _{v} λ _{v} + m _{v} c _{a} \cdot 100 + m _{a} c _{a} T _{a}}{( m _{v} + m _{a} ) c _{a}}

T_{e} = \frac{45 200 + 8372 + 31 395}{0 , 520 \cdot 4186}^{\circ} C = \frac{84 967}{2176 , 7}^{\circ} C \approx 39, 0^{\circ} C

Il vapore condensa e cede il calore latente, poi l’acqua di condensa si raffredda da $100^{\circ} C$ a $T_{e}$ ; l’acqua iniziale assorbe tutto questo calore. Il primo controllo verifica che la condensazione sia completa: anche portando l’acqua fino a $100^{\circ} C$ si potrebbe assorbire molto più calore di quello di condensazione, quindi il vapore condensa tutto e $T_{e}$ è inferiore a $100^{\circ} C$ .

Nel bilancio la condensazione compare con il segno meno, perché è un calore ceduto. Si ottiene $T_{e} \approx 39, 0^{\circ} C$ . Appena $20 g$ di vapore scaldano mezzo chilo di acqua di $24 K$ ; acqua liquida a $100^{\circ} C$ della stessa massa la porterebbe solo a circa $18^{\circ} C$ , perché il calore latente di vaporizzazione è circa cinque volte il calore che serve per scaldare l’acqua da $0^{\circ} C$ a $100^{\circ} C$ . Per questo un’ustione da vapore è più grave di una da acqua bollente.