Teoria

Dinamica del corpo rigido

Come si descrive la rotazione di un corpo rigido, come momento delle forze, momento d'inerzia e momento angolare ne determinano il moto, e quando il corpo rotola senza strisciare o resta in equilibrio.

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Corpo rigido e grandezze angolari
Momento di una forza e momento angolare

Corpo rigido e grandezze angolari

1. Corpo rigido

Un corpo rigido è un sistema di punti materiali le cui distanze reciproche restano costanti durante il moto. È un modello, adeguato quando le deformazioni del corpo reale sono trascurabili. La massa può essere concentrata in punti oppure distribuita con densità $ρ$ ; in questo caso un elemento di volume $d V$ ha massa $d m = ρ d V$ e le somme sui punti diventano integrali.

Il moto è di traslazione se ogni segmento che congiunge due punti del corpo resta parallelo a sé stesso, e allora tutti i punti hanno la stessa velocità. È di rotazione attorno a un asse fisso se i punti di una retta restano fermi e ogni altro punto descrive una circonferenza con centro sull’asse. Il moto più generale si scompone in una traslazione del centro di massa e in una rotazione attorno a un asse passante per il centro di massa.

2. Posizione, velocità e accelerazione angolare

Si consideri un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso, scelto come asse $z$ . La configurazione del corpo è individuata dalla posizione angolare $θ$ , l’angolo in radianti che una semiretta solidale con il corpo e perpendicolare all’asse forma con una semiretta fissa. La velocità angolare e l’accelerazione angolare sono

ω = \frac{d θ}{d t}, α = \frac{d ω}{d t} = \frac{d ^{2} θ}{d t ^{2}},

e si misurano in $rad/s$ e in $rad/ s^{2}$ . Sono le stesse per tutti i punti del corpo, quindi la rotazione si descrive con un’unica legge oraria $θ (t)$ . Si pone $ω > 0$ per la rotazione antioraria vista dalla parte positiva dell’asse $z$ , e il vettore velocità angolare è $ω = ω \hat{k}$ .

Quando $α$ è costante valgono le leggi del moto rettilineo uniformemente accelerato, per le quali si rimanda all’argomento sulla cinematica in una dimensione, con $θ$ al posto di $x$ :

ω = ω_{0} + α t, θ = θ_{0} + ω_{0} t + \frac{1}{2} α t^{2}, ω^{2} = ω_{0}^{2} + 2 α (θ - θ_{0}) .

Una mola che parte da ferma con $α = 4, 0 rad/ s^{2}$ dopo $5, 0 s$ ruota a $ω = 20 rad/s$ e ha descritto l’angolo $θ - θ_{0} = 50 rad$ , cioè $\frac{50}{2 π} \approx 8, 0$ giri.

3. Velocità e accelerazione dei punti del corpo

Sia $P$ un punto del corpo a distanza $r$ dall’asse di rotazione. Allora $P$ descrive una circonferenza di raggio $r$ e

v = ω r, a_{t} = α r, a_{c} = ω^{2} r = \frac{v ^{2}}{r},

dove $a_{t}$ è l’accelerazione tangenziale e $a_{c}$ l’accelerazione centripeta, diretta verso l’asse. Le formule seguono da quelle del moto circolare, trattate nell’argomento sul moto nel piano, perché l’arco percorso da $P$ è $s = r θ$ . In forma vettoriale, con l’origine sull’asse, $v = ω \times r$ . Un disco di raggio $0, 20 m$ che ruota a $30 rad/s$ ha sul bordo $v = 6, 0 m/s$ e $a_{c} = 180 m/ s^{2}$ .

Momento di una forza e momento angolare

1. Momento di una forza

Sia $F$ una forza applicata nel punto $P$ e sia $O$ un punto fissato, detto polo. Il momento della forza rispetto a $O$ è

τ_{O} = r \times F, r = O P .

Il suo modulo è $τ_{O} = r F sin φ = F b$ , dove $φ$ è l’angolo tra $r$ e $F$ e $b = r sin φ$ è il braccio, cioè la distanza di $O$ dalla retta d’azione della forza; si misura in $N \cdot m$ . A parità di forza il momento cresce con il braccio, ed è nullo quando la retta d’azione passa per $O$ . Una chiave lunga $0, 25 m$ spinta all’estremità con $40 N$ perpendicolari al manico produce un momento di $10 N \cdot m$ ; con la forza a $3 0^{\circ}$ dal manico il momento è $5, 0 N \cdot m$ .

Per un corpo che ruota attorno a un asse $z$ conta il momento assiale $τ_{z} = \hat{k} \cdot τ_{O}$ , con $O$ sull’asse; non dipende dalla posizione di $O$ sull’asse, perché spostando il polo lungo l’asse $r$ cambia di un vettore parallelo a $\hat{k}$ . Per una forza in un piano perpendicolare all’asse $τ_{z} = \pm F b$ , con il segno positivo quando la forza tende a far ruotare il corpo in verso antiorario.

Il braccio

b

è la distanza del polo

O

dalla retta d'azione di

F

, quindi

b = r sin φ

τ_{O} = F b

2. Momento angolare

Il momento angolare rispetto al polo $O$ di un punto materiale di massa $m$ , posizione $r$ e velocità $v$ è

L_{O} = r \times m v = r \times p,

e si misura in $kg \cdot m^{2} /s$ ; il momento angolare di un sistema di punti è la somma dei momenti angolari dei singoli punti. Per un punto in moto circolare uniforme di raggio $r$ , rispetto al centro, $r$ è perpendicolare a $v$ , quindi $L_{O} = m v r = m r^{2} ω$ e $L_{O}$ è diretto lungo l’asse della circonferenza.

3. Momento angolare di un corpo rigido in rotazione

Sia un corpo rigido, formato da punti di massa $m_{i}$ , che ruota con velocità angolare $ω$ attorno all’asse fisso $z$ , e sia $R_{i}$ la distanza del punto $i$ -esimo dall’asse. Allora la componente lungo l’asse del momento angolare, calcolato rispetto a un polo dell’asse, è

L_{z} = (i \sum m_{i} R_{i}^{2}) ω .

Il coefficiente di $ω$ dipende solo da come la massa è distribuita attorno all’asse ed è il momento d’inerzia del corpo rispetto all’asse. Due masse di $0, 50 kg$ agli estremi di un’asta leggera lunga $0, 60 m$ , che ruota a $4, 0 rad/s$ attorno all’asse perpendicolare per il punto medio, hanno $L_{z} = 2 \cdot 0, 50 \cdot 0, 3 0^{2} \cdot 4, 0 = 0, 36 kg \cdot m^{2} /s$ .

Dimostrazione

Si sceglie il polo $O$ sull’asse e si scrive la posizione del punto $i$ -esimo come $r_{i} = R_{i} + z_{i} \hat{k}$ , con $R_{i}$ perpendicolare all’asse e di modulo $R_{i}$ . Il punto descrive una circonferenza di raggio $R_{i}$ , quindi la sua velocità $v_{i}$ è perpendicolare sia a $\hat{k}$ sia a $R_{i}$ e ha modulo $∣ ω ∣ R_{i}$ . Allora

\hat{k} \cdot (r_{i} \times m_{i} v_{i}) = \hat{k} \cdot (R_{i} \times m_{i} v_{i}) + z_{i} \hat{k} \cdot (\hat{k} \times m_{i} v_{i}) .

Il secondo addendo è nullo, perché $\hat{k} \times m_{i} v_{i}$ è ortogonale a $\hat{k}$ . Il vettore $R_{i} \times m_{i} v_{i}$ è parallelo a $\hat{k}$ , poiché $R_{i}$ e $v_{i}$ sono perpendicolari all’asse, e ha modulo $m_{i} R_{i} \cdot ∣ ω ∣ R_{i}$ , poiché $R_{i}$ e $v_{i}$ sono ortogonali; il suo verso è quello di $\hat{k}$ per $ω > 0$ e quello opposto per $ω < 0$ . Quindi il contributo del punto $i$ -esimo a $L_{z}$ è $m_{i} R_{i}^{2} ω$ , e sommando su tutti i punti si ottiene la tesi.

4. Momento della forza peso

In un campo di gravità uniforme il momento risultante, rispetto a un polo $O$ , dei pesi dei singoli punti di un corpo di massa $M$ è uguale al momento del peso totale $M g$ applicato nel centro di massa $C$ :

i \sum r_{i} \times m_{i} g = r_{C} \times M g .

Per questo il centro di massa si chiama anche baricentro, e nel calcolo dei momenti il peso si tratta come una sola forza applicata in $C$ ; in un’asta omogenea $C$ è il punto medio.

Dimostrazione

Il vettore $g$ è lo stesso per tutti i punti, quindi si raccoglie a destra: $\sum_{i} r_{i} \times m_{i} g = (\sum_{i} m_{i} r_{i}) \times g$ . Per definizione di centro di massa $\sum_{i} m_{i} r_{i} = M r_{C}$ , e perciò il momento è $r_{C} \times M g$ .

La teoria continua con 6 altri paragrafi (momento dinerzia, seconda equazione cardinale e moto di rotazione, energia nei moti di rotazione…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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