Teoria

Gravitazione

La legge di gravitazione universale, il campo e l'energia potenziale gravitazionale, la variazione di g con la quota, le orbite circolari dei satelliti, la velocità di fuga e le leggi di Keplero ricavate dalla dinamica.

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Legge di gravitazione universale
Campo gravitazionale

Legge di gravitazione universale

Due punti materiali di masse $m_{1}$ e $m_{2}$ , posti a distanza $r$ , si attraggono con forze dirette lungo la retta che li congiunge, di modulo

F = G \frac{m _{1} m _{2}}{r ^{2}},

dove $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} N \cdot m^{2} /k g^{2}$ è la costante di gravitazione universale. In forma vettoriale, detto $\overset{u}{^}_{r}$ il versore che va da $m_{1}$ verso $m_{2}$ , la forza che $m_{1}$ esercita su $m_{2}$ è

F_{12} = - G \frac{m _{1} m _{2}}{r ^{2}} \overset{u}{^}_{r},

e la forza che $m_{2}$ esercita su $m_{1}$ è $F_{21} = - F_{12}$ , in accordo con il terzo principio della dinamica.

È una legge sperimentale, formulata da Newton e verificata in laboratorio da Cavendish con la bilancia di torsione, con la quale fu misurato per la prima volta il valore di $G$ . Serve a calcolare la forza tra due corpi quando le loro dimensioni sono piccole rispetto alla distanza, e per sovrapposizione la forza tra corpi estesi. Due persone di $70 kg$ e $60 kg$ a $1, 0 m$ di distanza si attraggono con una forza di $6, 67 \cdot 1 0^{- 11} \cdot \frac{70 \cdot 60}{1 , 0 ^{2}} N = 2, 8 \cdot 1 0^{- 7} N$ , meno di un miliardesimo del peso di ciascuna; la gravitazione diventa rilevante solo quando almeno una delle masse è astronomica.

Accelerazione della Luna

La dipendenza da $\frac{1}{r ^{2}}$ si controlla con il moto della Luna. La Luna percorre attorno alla Terra un’orbita quasi circolare di raggio $d = 3, 84 \cdot 1 0^{8} m$ in $T = 27, 3$ giorni, quindi la sua accelerazione centripeta è

a_{L} = \frac{4 π ^{2} d}{T ^{2}} = 2, 72 \cdot 1 0^{- 3} m/ s^{2} .

La distanza Terra-Luna è circa $60$ volte il raggio terrestre $R_{T} = 6, 37 \cdot 1 0^{6} m$ ; se l’attrazione terrestre decresce come $\frac{1}{r ^{2}}$ , alla distanza della Luna l’accelerazione di gravità vale $g_{0} (\frac{R _{T}}{d})^{2} = 2, 70 \cdot 1 0^{- 3} m/ s^{2}$ , dove $g_{0} = 9, 81 m/ s^{2}$ è il valore alla superficie terrestre. I due valori differiscono di circa l’ $1%$ , perciò la stessa forza che fa cadere i corpi sulla Terra mantiene la Luna in orbita.

Principio di sovrapposizione

Se un punto materiale di massa $m$ interagisce con i punti materiali $m_{1}, \dots, m_{n}$ , la forza gravitazionale totale su $m$ è la somma vettoriale delle forze che ciascuna massa eserciterebbe da sola:

F = F_{1} + F_{2} + \dots + F_{n} .

È un fatto sperimentale: la presenza delle altre masse non modifica la forza esercitata da ciascuna. Il principio permette di calcolare la forza dovuta a più corpi e, suddividendo un corpo esteso in parti piccole, la forza dovuta a un corpo esteso. Le forze si sommano come vettori, quindi in un problema nel piano si sommano separatamente le componenti $F_{x}$ e $F_{y}$ .

La forza totale su

m

è la somma vettoriale delle forze

F_{1}

F_{2}

, dirette verso

m_{1}

e verso

m_{2}

Forze che si annullano

Un corpo di massa $m = 1, 0 kg$ è nell’origine di un asse $x$ ; una massa di $3, 0 kg$ si trova in $x = 0, 30 m$ e una di $12 kg$ in $x = - 0, 60 m$ . Le due forze hanno moduli

F_{1} = G \frac{3 , 0 \cdot 1 , 0}{0 , 3 0 ^{2}} N = 2, 2 \cdot 1 0^{- 9} N, F_{2} = G \frac{12 \cdot 1 , 0}{0 , 6 0 ^{2}} N = 2, 2 \cdot 1 0^{- 9} N,

poiché $\frac{3 , 0}{0 , 09} = \frac{12}{0 , 36}$ , e versi opposti, quindi la forza totale sul corpo è nulla. La massa più grande, essendo a distanza doppia, esercita la stessa forza della massa più piccola.

Campo gravitazionale

Sia $F$ la forza gravitazionale che un sistema di masse esercita su un punto materiale di massa $m$ posto in $P$ . Il campo gravitazionale del sistema nel punto $P$ è

g (P) = \frac{F}{m} .

Il campo non dipende da $m$ , perché la forza è proporzionale a $m$ ; dipende solo dalle masse che lo generano e dalla posizione di $P$ . Si misura in $N/kg$ , unità che coincide con $m/ s^{2}$ . Una volta noto il campo, la forza su qualunque massa posta in $P$ è $F = m g (P)$ , e se è l’unica forza agente l’accelerazione della massa è proprio $g (P)$ .

Campo di una massa puntiforme

Dalla legge di gravitazione, il campo generato da una massa puntiforme $M$ a distanza $r$ è

g = - \frac{GM}{r ^{2}} \overset{u}{^}_{r}, g = \frac{GM}{r ^{2}},

dove $\overset{u}{^}_{r}$ è il versore che va da $M$ verso il punto considerato. Il campo è diretto verso la massa che lo genera e il suo modulo si riduce a un quarto quando la distanza raddoppia. Per il principio di sovrapposizione il campo di più masse è la somma vettoriale dei campi di ciascuna, $g = g_{1} + \dots + g_{n}$ .

Il campo di una massa

M

punta verso

M

; a distanza doppia il modulo è

\frac{1}{4}

, come mostra la lunghezza delle frecce

Punto di campo nullo tra Terra e Luna

Con $M_{T} = 5, 97 \cdot 1 0^{24} kg$ , $M_{L} = 7, 35 \cdot 1 0^{22} kg$ e distanza $d = 3, 84 \cdot 1 0^{8} m$ tra i centri, si cerca il punto del segmento Terra-Luna, a distanza $x$ dalla Terra, in cui i due campi hanno lo stesso modulo. Poiché i due campi hanno versi opposti, il campo totale è nullo se

\frac{G M _{T}}{x ^{2}} = \frac{G M _{L}}{( d - x ) ^{2}} ⟺ \frac{x}{d - x} = \frac{M _{T}}{M _{L}} = 9, 01,

dove si è estratta la radice di due quantità positive. Si ottiene $x = \frac{9 , 01}{10 , 01} d = 3, 46 \cdot 1 0^{8} m$ , cioè il punto si trova a circa il $90%$ della distanza, vicino alla Luna.

La teoria continua con 6 altri paragrafi (energia potenziale gravitazionale, corpi a simmetria sferica, accelerazione di gravità e quota…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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