Teoria

Oscillazioni e moto armonico

Che cos'è il moto armonico semplice, come lo si riconosce dall'equazione $\ddot{x} = -\omega^2 x$, come si calcolano periodo ed energia della molla e dei pendoli, e come smorzamento e forzante portano alla risonanza.

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Moto periodico e moto armonico semplice
Equazione del moto armonico

Moto periodico e moto armonico semplice

1. Moto periodico, periodo e frequenza

Un moto si dice periodico se esiste un intervallo di tempo $T > 0$ tale che, per ogni istante $t$ , la posizione e la velocità all’istante $t + T$ coincidono con quelle all’istante $t$ . Il più piccolo $T$ con questa proprietà è il periodo, e il numero di cicli completi compiuti nell’unità di tempo è la frequenza

f = \frac{1}{T},

che si misura in hertz ( $1 Hz = 1 s^{- 1}$ ). Periodo e frequenza si ricavano contando le oscillazioni; per esempio, un pendolo che compie $30$ oscillazioni complete in $45 s$ ha $T = 1, 5 s$ e $f = 0, 67 Hz$ .

2. Moto armonico semplice

Un punto che si muove lungo l’asse $x$ compie un moto armonico semplice se la sua legge oraria è

x (t) = A cos (ω t + φ),

con $A > 0$ , $ω > 0$ e $φ \in R$ costanti. Il numero $A$ è l’ampiezza, cioè la massima distanza del punto dalla posizione di equilibrio $x = 0$ ; $ω$ è la pulsazione, in $rad/s$ ; l’argomento $ω t + φ$ è la fase e $φ$ è la fase iniziale. Poiché il coseno ha periodo $2 π$ , il moto è periodico con

T = \frac{2 π}{ω}, f = \frac{ω}{2 π} .

Il punto oscilla tra $x = - A$ e $x = A$ . Una legge scritta con il seno descrive lo stesso moto con un’altra fase iniziale, perché $sin α = cos (α - \frac{π}{2})$ . Per $x (t) = 0, 20 cos (5 t) m$ si legge $A = 0, 20 m$ e $ω = 5 rad/s$ , quindi $T = \frac{2 π}{5} s = 1, 26 s$ .

Legge oraria

x (t) = A cos (ω t)

con

A = 2

T = 4

: il grafico è compreso tra

- A

A

e si ripete uguale dopo ogni periodo

3. Velocità e accelerazione nel moto armonico

Nel moto armonico $x (t) = A cos (ω t + φ)$ la velocità e l’accelerazione sono

v (t) = \frac{d x}{d t} = - A ω sin (ω t + φ), a (t) = \frac{d v}{d t} = - A ω^{2} cos (ω t + φ) = - ω^{2} x (t) .

Le formule seguono derivando due volte la legge oraria con la regola della catena. I valori massimi dei moduli sono $v_{m a x} = A ω$ , raggiunto nel passaggio per l’equilibrio, e $a_{m a x} = A ω^{2}$ , raggiunto agli estremi $x = \pm A$ , dove la velocità è nulla. La relazione $a = - ω^{2} x$ dice che l’accelerazione è proporzionale allo spostamento e ha verso opposto, quindi è sempre diretta verso la posizione di equilibrio. Per $x (t) = 0, 20 cos (5 t) m$ si ha $v_{m a x} = 1, 0 m/s$ e $a_{m a x} = 5, 0 m/ s^{2}$ .

Con

A = 1

T = 4

: posizione

x (t)

(in colore), velocità

v (t)

(tratteggiata) e accelerazione

a (t)

(in rosso); la velocità si annulla dove

∣ x ∣

è massimo e l'accelerazione ha sempre segno opposto a

x

Velocità in funzione della posizione

Dalle leggi di $x$ e di $v$ si elimina il tempo. Posto $α = ω t + φ$ , si ha $cos α = \frac{x}{A}$ e $sin α = - \frac{v}{A ω}$ ; poiché $cos^{2} α + sin^{2} α = 1$ , risulta

\frac{x ^{2}}{A ^{2}} + \frac{v ^{2}}{A ^{2} ω ^{2}} = 1, quindi ∣ v ∣ = ω A^{2} - x^{2} .

La formula dà il modulo della velocità in ogni posizione senza conoscere l’istante; il verso dipende dal tratto di oscillazione che il punto sta percorrendo. Per $A = 0, 10 m$ e $ω = 4 rad/s$ , nella posizione $x = 0, 06 m$ si ha $∣ v ∣ = 4 \cdot 0, 08 m/s = 0, 32 m/s$ .

Moto armonico e moto circolare uniforme

Sia $P$ un punto che percorre di moto circolare uniforme, con velocità angolare $ω$ , la circonferenza di centro $O$ e raggio $A$ , e sia $ω t + φ$ l’angolo che $O P$ forma con l’asse $x$ all’istante $t$ . La proiezione $Q$ di $P$ sull’asse $x$ ha ascissa $A cos (ω t + φ)$ , quindi si muove di moto armonico semplice. La pulsazione del moto armonico è la velocità angolare del moto circolare, e la fase è l’angolo che individua $P$ sulla circonferenza. Si ritrova anche l’accelerazione, poiché l’accelerazione centripeta di $P$ ha modulo $ω^{2} A$ ed è diretta verso $O$ , e perciò la sua componente lungo $x$ è $- ω^{2} A cos (ω t + φ) = - ω^{2} x$ . Per il moto circolare uniforme si rimanda all’argomento sul moto nel piano.

Il punto

P

percorre la circonferenza di raggio

A

con velocità angolare

ω

; la sua proiezione

Q

sull'asse

x

ha ascissa

A cos (ω t + φ)

Equazione del moto armonico

Sia $ω > 0$ e si indichino con $\overset{x}{˙} = \frac{d x}{d t}$ e $\overset{x}{¨} = \frac{d ^{2} x}{d t ^{2}}$ le derivate prima e seconda rispetto al tempo. Le soluzioni dell’equazione differenziale

\overset{x}{¨} = - ω^{2} x

sono tutte e sole le funzioni $x (t) = A cos (ω t + φ)$ con $A \geq 0$ e $φ \in R$ . Il teorema si usa nel modo seguente. Se il secondo principio della dinamica, applicato a un sistema, porta a un’equazione della forma $\overset{x}{¨} = - ω^{2} x$ , allora il sistema compie un moto armonico con pulsazione uguale alla radice quadrata del coefficiente di $x$ e periodo $T = \frac{2 π}{ω}$ . Per esempio $\overset{x}{¨} = - 25 x$ descrive un moto armonico con $ω = 5 rad/s$ e $T = 1, 26 s$ . La stessa conclusione vale per qualunque grandezza, come un angolo, che soddisfi un’equazione di questa forma.

Dimostrazione

L’equazione si scrive $\overset{x}{¨} + ω^{2} x = 0$ ed è lineare del secondo ordine a coefficienti costanti. L’equazione caratteristica $r^{2} + ω^{2} = 0$ ha le radici complesse coniugate $\pm iω$ , quindi l’integrale generale è $x (t) = C_{1} cos (ω t) + C_{2} sin (ω t)$ con $C_{1}, C_{2} \in R$ . Si pone $A = C_{1}^{2} + C_{2}^{2}$ . Se $A > 0$ , il punto $(\frac{C _{1}}{A}, - \frac{C _{2}}{A})$ sta sulla circonferenza di raggio $1$ , perciò esiste $φ$ tale che $cos φ = \frac{C _{1}}{A}$ e $sin φ = - \frac{C _{2}}{A}$ . Per la formula di addizione del coseno

A cos (ω t + φ) = A cos φ cos (ω t) - A sin φ sin (ω t) = C_{1} cos (ω t) + C_{2} sin (ω t),

quindi ogni soluzione ha la forma dell’enunciato; se $A = 0$ la soluzione è quella nulla. Viceversa, per il teorema su velocità e accelerazione nel moto armonico, ogni funzione $A cos (ω t + φ)$ ha derivata seconda $- ω^{2} A cos (ω t + φ)$ , e perciò soddisfa l’equazione.

Ampiezza e fase dalle condizioni iniziali

Se all’istante $t = 0$ il punto si trova in $x_{0}$ con velocità $v_{0}$ , l’ampiezza e la fase iniziale del moto armonico di pulsazione $ω$ sono determinate da

A = x_{0}^{2} + \frac{v _{0}^{2}}{ω ^{2}}, ⎩ ⎨ ⎧ cos φ = \frac{x _{0}}{A} sin φ = - \frac{v _{0}}{A ω}

Le formule seguono imponendo $x (0) = A cos φ = x_{0}$ e $v (0) = - A ω sin φ = v_{0}$ , e sommando i quadrati delle due uguaglianze. Le due condizioni su $φ$ vanno soddisfatte insieme; infatti la sola tangente $tan φ = - \frac{v _{0}}{ω x _{0}}$ individua $φ$ a meno di $π$ , e il segno di $cos φ$ sceglie il valore corretto. Un corpo lasciato fermo nella posizione $x_{0} > 0$ ha $A = x_{0}$ e $φ = 0$ ; un corpo lanciato dalla posizione di equilibrio con velocità $v_{0} > 0$ ha $A = \frac{v _{0}}{ω}$ e $φ = - \frac{π}{2}$ .

La teoria continua con 6 altri paragrafi (oscillatore massa molla, energia del moto armonico, pendolo semplice…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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