Teoria

Lavoro ed energia

Come si calcola il lavoro di una forza costante o variabile, che cosa misura la potenza, come il teorema dell'energia cinetica e la conservazione dell'energia meccanica danno le velocità senza risolvere le equazioni del moto, e come una curva di energia potenziale descrive moto ed equilibrio.

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Lavoro di una forza costante
Lavoro di una forza variabile

Lavoro di una forza costante

In tutto l’argomento il corpo è trattato come un punto materiale e il sistema di riferimento è inerziale.

Si consideri un punto materiale che compie uno spostamento rettilineo $s$ mentre su di esso agisce una forza costante $F$ . Il lavoro compiuto dalla forza è lo scalare

L = F \cdot s = F s cos θ,

dove $θ$ è l’angolo tra $F$ e $s$ . Nel Sistema Internazionale il lavoro si misura in joule, $1 J = 1 N \cdot m$ . In componenti cartesiane $L = F_{x} Δ x + F_{y} Δ y + F_{z} Δ z$ , dove $Δ x$ , $Δ y$ , $Δ z$ sono le componenti dello spostamento.

Il lavoro dipende solo dalla componente $F cos θ$ della forza parallela allo spostamento, perché la componente perpendicolare ha prodotto scalare nullo con $s$ . Per esempio, un carrello tirato per $10 m$ su un piano orizzontale con una forza di $50 N$ inclinata di $3 0^{\circ}$ riceve dalla forza il lavoro $L = 50 \cdot 10 \cdot cos 3 0^{\circ} J \approx 433 J$ .

Una forza costante

F

inclinata di

θ

sullo spostamento

s

compie il lavoro

F s cos θ

, che dipende solo dalla proiezione di

F

sulla direzione di

s

Segno del lavoro

Il segno del lavoro è il segno di $cos θ$ .

Se $0 \leq θ < \frac{π}{2}$ , il lavoro è positivo e la forza si dice motrice; per esempio il peso compie lavoro positivo su un corpo che scende.
Se $θ = \frac{π}{2}$ , il lavoro è nullo; la reazione normale di un piano su cui il corpo scivola e la forza centripeta nel moto circolare uniforme sono perpendicolari allo spostamento e non compiono lavoro.
Se $\frac{π}{2} < θ \leq π$ , il lavoro è negativo e la forza si dice resistente; l’attrito dinamico, opposto allo spostamento, ha $θ = π$ e compie il lavoro $L = - f s$ .

Una forza può quindi agire su un corpo in movimento senza compiere lavoro, quando è perpendicolare allo spostamento.

Lavoro della risultante

Se sul punto materiale agiscono le forze costanti $F_{1}, \dots, F_{n}$ , con risultante $R = F_{1} + \dots + F_{n}$ , il lavoro totale durante lo spostamento $s$ è

L_{tot} = L_{1} + \dots + L_{n} = R \cdot s .

L’uguaglianza segue dalla proprietà distributiva del prodotto scalare rispetto alla somma. Il lavoro totale si calcola quindi in due modi equivalenti, sommando i lavori delle singole forze oppure calcolando il lavoro della risultante; il primo è più comodo quando si chiede anche il contributo di ciascuna forza, e il lavoro totale è la grandezza che compare nel teorema dell’energia cinetica.

Lavoro di una forza variabile

Si consideri un punto materiale che si muove lungo l’asse $x$ da $x_{A}$ a $x_{B}$ , soggetto a una forza la cui componente $F_{x} (x)$ dipende dalla posizione. Si divide l’intervallo in tratti di ampiezza $Δ x_{i}$ così piccoli che su ciascuno la forza si possa considerare costante; il lavoro sul tratto $i$ -esimo è circa $F_{x} (x_{i}) Δ x_{i}$ , e la somma di questi contributi tende all’integrale quando i tratti si restringono. Si pone perciò

L = \int_{x_{A}}^{x_{B}} F_{x} (x) d x .

Il lavoro è l’area con segno sotto il grafico di $F_{x}$ in funzione di $x$ , e per una forza costante la definizione restituisce $L = F_{x} (x_{B} - x_{A})$ . Per esempio, con $F_{x} (x) = 4 + 2 x$ , dove $x$ è in metri e $F_{x}$ in newton, il lavoro tra $x = 0$ e $x = 3 m$ è $[4 x + x^{2}]_{0}^{3} = 21 J$ .

Il lavoro di

F_{x} (x) = 4 + 2 x

tra

x = 0

x = 3

è l'area del trapezio colorato,

21 J

Lavoro lungo una traiettoria curva

Se il punto descrive una traiettoria curva $γ$ da $A$ a $B$ e la forza dipende dalla posizione, il lavoro è

L = \int_{γ} F \cdot d r,

dove $d r$ è lo spostamento infinitesimo lungo la traiettoria. La definizione ripete il ragionamento precedente, sommando i contributi $F \cdot Δ r$ dei piccoli tratti in cui si divide la curva. È un integrale di linea, per il quale si rimanda all’argomento sulle curve e gli integrali di linea di Analisi 2. Nei problemi di meccanica del punto la traiettoria è spesso rettilinea oppure la forza è conservativa, e il calcolo si riduce a un integrale in una variabile o a una differenza di energie potenziali.

Lavoro della forza elastica

Si consideri una molla ideale di costante elastica $k$ , con un estremo fisso e l’altro collegato a un corpo che si muove lungo l’asse $x$ , con l’origine nella posizione di riposo; per la legge di Hooke la forza elastica è $F_{x} = - k x$ . Quando la deformazione passa da $x_{A}$ a $x_{B}$ la forza elastica compie il lavoro

L = \frac{1}{2} k x_{A}^{2} - \frac{1}{2} k x_{B}^{2} .

Il lavoro è negativo quando la deformazione aumenta in valore assoluto, perché la forza si oppone allo spostamento, e positivo quando la molla torna verso la lunghezza di riposo. Per una molla con $k = 200 N/m$ che torna a riposo da un allungamento di $0, 10 m$ si ha $L = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot 0, 1 0^{2} J = 1, 0 J$ .

La forza elastica

F_{x} = - k x

: quando la molla si allunga da

0

x

il lavoro è l'area con segno del triangolo,

- \frac{1}{2} k x^{2}

Dimostrazione

Per la definizione di lavoro di una forza variabile,

L = \int_{x_{A}}^{x_{B}} (- k x) d x = [- \frac{1}{2} k x^{2}]_{x_{A}}^{x_{B}} = \frac{1}{2} k x_{A}^{2} - \frac{1}{2} k x_{B}^{2} .

Il risultato dipende solo dalle deformazioni iniziale e finale.

La teoria continua con 7 altri paragrafi (potenza, energia cinetica e teorema dellenergia cinetica, forze conservative…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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