Teoria

Moto nel piano: proiettile e moto circolare

Come posizione, velocità e accelerazione diventano vettori nel piano, come si descrivono il moto del proiettile e il moto circolare uniforme e non uniforme, e come cambiano velocità e traiettorie passando da un sistema di riferimento a un altro in moto traslatorio.

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Vettori posizione, velocità e accelerazione
Moto con accelerazione costante

Vettori posizione, velocità e accelerazione

1. Vettore posizione e traiettoria

Si fissa nel piano del moto un riferimento cartesiano $O x y$ con versori $\overset{}{^}$ e $\overset{}{^}$ . La posizione di un punto materiale $P$ all’istante $t$ è individuata dal vettore posizione

r (t) = O P = x (t) \overset{}{^} + y (t) \overset{}{^} .

La funzione $t \mapsto r (t)$ è la legge oraria del moto, e le funzioni scalari $x (t)$ e $y (t)$ sono le leggi orarie delle proiezioni di $P$ sui due assi. L’insieme dei punti occupati da $P$ al variare di $t$ è la traiettoria. Eliminando $t$ tra $x (t)$ e $y (t)$ si ottiene l’equazione cartesiana della traiettoria; per esempio, con $x$ e $y$ in metri e $t$ in secondi, da $x = 2 t$ e $y = t^{2}$ si ricava $t = \frac{x}{2}$ , quindi la traiettoria è la parabola $y = \frac{x ^{2}}{4}$ .

2. Spostamento e velocità media

Lo spostamento tra gli istanti $t$ e $t + Δ t$ è il vettore $Δ r = r (t + Δ t) - r (t)$ , che va dalla posizione iniziale alla posizione finale. La velocità media nell’intervallo è

v_{m} = \frac{Δ r}{Δ t},

un vettore con la direzione e il verso dello spostamento, misurato in $m/s$ . Lo spostamento dipende solo dalle posizioni iniziale e finale, perciò il suo modulo è in generale minore della lunghezza del tratto di traiettoria percorso. Dopo un giro completo su una circonferenza lo spostamento è nullo, e quindi è nulla anche la velocità media.

3. Velocità istantanea

La velocità all’istante $t$ è il limite della velocità media per $Δ t \to 0$ , cioè la derivata del vettore posizione:

v (t) = Δ t \to 0 lim \frac{Δ r}{Δ t} = \frac{d r}{d t} = \frac{d x}{d t} \overset{}{^} + \frac{d y}{d t} \overset{}{^} .

Quando $Δ t$ tende a zero la corda $Δ r$ tende alla direzione della retta tangente, quindi la velocità è tangente alla traiettoria nel punto occupato e ha il verso del moto. Il modulo $v = ∣ v ∣ = v_{x}^{2} + v_{y}^{2}$ è la velocità scalare, cioè la derivata rispetto al tempo della lunghezza dell’arco percorso. Per $r (t) = 2 t \overset{}{^} + t^{2} \overset{}{^}$ si ha $v (t) = 2 \overset{}{^} + 2 t \overset{}{^}$ , e all’istante $t = 1 s$ la velocità ha modulo $8 m/s \approx 2, 83 m/s$ .

y = \dfrac{x^{2}}{4}

Sulla traiettoria

y = \frac{x ^{2}}{4}

lo spostamento

Δ r

è la corda tra le posizioni agli istanti

t = 1 s

t = 2 s

; la velocità

v

(2, 1)

è tangente alla traiettoria

4. Accelerazione

L’accelerazione media nell’intervallo $[t, t + Δ t]$ è $a_{m} = \frac{Δ v}{Δ t}$ , e l’accelerazione all’istante $t$ è la derivata della velocità:

a (t) = \frac{d v}{d t} = \frac{d ^{2} r}{d t ^{2}} = \frac{d v _{x}}{d t} \overset{}{^} + \frac{d v _{y}}{d t} \overset{}{^},

misurata in $m/ s^{2}$ . L’accelerazione registra ogni variazione del vettore velocità, sia del modulo sia della direzione; perciò un punto che percorre una curva con velocità scalare costante ha accelerazione diversa da zero. Per $r (t) = 2 t \overset{}{^} + t^{2} \overset{}{^}$ si ottiene $a = 2 \overset{}{^} m/ s^{2}$ , costante, mentre la velocità cambia sia in modulo sia in direzione.

Moti delle proiezioni

Poiché le derivate si calcolano componente per componente, le relazioni $v_{x} = \frac{d x}{d t}$ e $a_{x} = \frac{d v _{x}}{d t}$ coinvolgono solo grandezze lungo l’asse $x$ , e lo stesso vale lungo l’asse $y$ . Quindi il moto nel piano equivale a due moti rettilinei simultanei, quello della proiezione su $x$ e quello della proiezione su $y$ , che hanno in comune solo il tempo. Su ciascun asse valgono le leggi della cinematica in una dimensione, per le quali si rimanda all’argomento sulla cinematica in una dimensione. Il tempo è la variabile che collega i due moti, perciò in genere lo si ricava da un’equazione su un asse e lo si sostituisce nell’equazione dell’altro.

Moto con accelerazione costante

Leggi orarie con accelerazione costante

Sia $a$ costante e siano $r_{0}$ e $v_{0}$ la posizione e la velocità all’istante $t = 0$ . Allora per ogni $t$

v (t) = v_{0} + a t, r (t) = r_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2} .

In componenti si hanno due moti uniformemente accelerati, $x (t) = x_{0} + v_{0 x} t + \frac{1}{2} a_{x} t^{2}$ e $y (t) = y_{0} + v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2}$ , e su ciascun asse vale la relazione senza il tempo $v_{x}^{2} = v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} (x - x_{0})$ , e analogamente per $y$ . Le formule descrivono ogni moto con accelerazione costante; il caso più importante è il moto dei corpi vicino alla superficie terrestre, con $a = - g \overset{}{^}$ .

Dimostrazione

Per definizione di accelerazione $\frac{d v _{x}}{d t} = a_{x}$ , con $a_{x}$ costante. Per il teorema fondamentale del calcolo integrale

v_{x} (t) - v_{0 x} = \int_{0}^{t} a_{x} d t^{'} = a_{x} t,

quindi $v_{x} (t) = v_{0 x} + a_{x} t$ . Poiché $\frac{d x}{d t} = v_{x}$ , integrando di nuovo si ottiene

x (t) - x_{0} = \int_{0}^{t} (v_{0 x} + a_{x} t^{'}) d t^{'} = v_{0 x} t + \frac{1}{2} a_{x} t^{2} .

Lo stesso calcolo vale per la componente $y$ , e ricomponendo le componenti con i versori si ottengono le formule vettoriali. Per la relazione senza il tempo, se $a_{x} \neq = 0$ si ricava $t = \frac{v _{x} - v _{0 x}}{a _{x}}$ dalla legge della velocità e lo si sostituisce nella legge della posizione; svolgendo i calcoli si ottiene $x - x_{0} = \frac{v _{x}^{2} - v _{0 x}^{2}}{2 a _{x}}$ , che è la tesi. Se $a_{x} = 0$ la relazione si riduce a $v_{x} = v_{0 x}$ , che è vera.

Forma della traiettoria

Con accelerazione costante e non nulla la traiettoria è un segmento di retta oppure un arco di parabola. Se $v_{0}$ è nulla oppure parallela ad $a$ , il moto avviene lungo la retta per il punto iniziale con la direzione di $a$ , ed è un moto rettilineo uniformemente accelerato. Se $v_{0}$ e $a$ non sono paralleli, si sceglie l’asse $y$ parallelo ad $a$ ; allora $a_{x} = 0$ e $v_{0 x} \neq = 0$ , quindi $x$ è una funzione di primo grado di $t$ e $y$ una funzione di secondo grado. Ricavando $t$ da $x$ e sostituendo, $y$ risulta un polinomio di secondo grado in $x$ , perciò la traiettoria è una parabola con asse parallelo ad $a$ . Il moto del proiettile è l’esempio principale di questo caso.

La teoria continua con 6 altri paragrafi (moto del proiettile, altezza massima tempo di volo e gittata, lanci da una quota…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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