Teoria

Meccanica dei fluidi

Come densità e pressione descrivono un fluido, come la legge di Stevino, il principio di Pascal e il principio di Archimede spiegano i liquidi in quiete e il galleggiamento, e come l'equazione di continuità e il teorema di Bernoulli descrivono i fluidi in moto.

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Densità e pressione
Legge di Stevino

Densità e pressione

1. Fluido

Un fluido è un sistema che non ha forma propria e che, in quiete, non sopporta sforzi di taglio: una forza tangente a una sua superficie, per quanto piccola, lo mette in moto. I liquidi e i gas sono fluidi. Un liquido ha volume proprio e una superficie libera; un gas occupa tutto il volume a disposizione. Un fluido si dice incomprimibile se la sua densità è la stessa in ogni punto e non cambia con la pressione. I liquidi si comportano quasi sempre come fluidi incomprimibili, perché per ridurne il volume di una piccola frazione servono pressioni molto alte, e in tutto l’argomento i liquidi sono trattati come incomprimibili.

2. Densità

La densità di un corpo omogeneo di massa $m$ e volume $V$ è

ρ = \frac{m}{V},

e si misura in $kg/ m^{3}$ . Valori tipici sono $1, 00 \cdot 1 0^{3} kg/ m^{3}$ per l’acqua dolce, circa $1, 03 \cdot 1 0^{3} kg/ m^{3}$ per l’acqua di mare, $13, 6 \cdot 1 0^{3} kg/ m^{3}$ per il mercurio e circa $1, 2 kg/ m^{3}$ per l’aria a temperatura ambiente. La densità permette di passare dal volume alla massa e quindi al peso: un blocco di alluminio ( $ρ = 2, 70 \cdot 1 0^{3} kg/ m^{3}$ ) di volume $0, 20 d m^{3} = 2, 0 \cdot 1 0^{- 4} m^{3}$ ha massa $0, 54 kg$ .

3. Pressione

Sia $F$ la forza che un fluido esercita su una superficie piana di area $A$ . La pressione è il rapporto tra la componente di $F$ perpendicolare alla superficie e l’area:

p = \frac{F _{⊥}}{A} .

Se la forza non è uniforme, la pressione in un punto è il limite di $\frac{Δ F _{⊥}}{Δ A}$ su superfici sempre più piccole attorno al punto. La pressione è uno scalare e si misura in pascal, $1 Pa = 1 N/ m^{2}$ . Un fluido in quiete esercita su ogni superficie solo forze perpendicolari, perché una componente tangente metterebbe in moto il fluido stesso; inoltre in un punto la pressione ha lo stesso valore qualunque sia l’orientazione della superficie su cui la si misura. Perciò la forza di pressione su una superficie piccola di area $Δ A$ ha modulo $p Δ A$ ed è diretta verso la superficie, perpendicolarmente a essa. La stessa forza produce pressioni molto diverse a seconda dell’area: una persona di peso $600 N$ in piedi su $0, 040 m^{2}$ esercita sul pavimento $1, 5 \cdot 1 0^{4} Pa$ , e appoggiata su un tacco di $1, 0 c m^{2}$ esercita $6, 0 \cdot 1 0^{6} Pa$ .

Altre unità di pressione

Accanto al pascal si usano il bar, $1 bar = 1 0^{5} Pa$ , l’atmosfera, $1 atm = 1, 013 \cdot 1 0^{5} Pa$ , che è la pressione media dell’aria al livello del mare, e il millimetro di mercurio, $1 mmHg \approx 133 Pa$ , per cui $1 atm = 760 mmHg$ . Negli esercizi si indica con $p_{0} = 1, 013 \cdot 1 0^{5} Pa$ la pressione atmosferica e ogni valore va convertito in pascal prima di usarlo nelle formule.

Legge di Stevino

Sia un fluido incomprimibile di densità $ρ$ in quiete nel campo di gravità uniforme $g$ , e sia $y$ la quota misurata lungo la verticale verso l’alto. Per due punti del fluido alle quote $y_{1}$ e $y_{2}$ vale

p_{2} = p_{1} + ρ g (y_{1} - y_{2}) .

In particolare tutti i punti alla stessa quota hanno la stessa pressione e, se la superficie libera è a contatto con l’aria alla pressione $p_{0}$ , alla profondità $h$ sotto la superficie la pressione è

p = p_{0} + ρ g h .

La legge dice che la pressione in un liquido dipende solo dalla profondità, e cresce linearmente con essa, indipendentemente dalla forma del recipiente. In acqua $ρ g = 9, 81 \cdot 1 0^{3} Pa/m$ , quindi a $10 m$ di profondità la pressione è $1, 013 \cdot 1 0^{5} + 0, 981 \cdot 1 0^{5} \approx 1, 99 \cdot 1 0^{5} Pa$ , circa il doppio di quella atmosferica.

Pressione assoluta

p

(in

1 0^{5} Pa

) alla profondità

h

(in metri) in acqua: la retta

p = p_{0} + ρ g h

sale di circa

0, 98 \cdot 1 0^{5} Pa

ogni

10 m

Dimostrazione

Si considera, all’interno del fluido, un cilindro immaginario con l’asse verticale, le basi di area $A$ alle quote $y_{2} < y_{1}$ e altezza $y_{1} - y_{2}$ . Il liquido contenuto nel cilindro è in quiete, quindi la risultante delle forze che agiscono su di esso è nulla. Le forze di pressione sulla superficie laterale sono orizzontali e, poiché il fluido è in equilibrio anche in direzione orizzontale, la loro risultante è nulla. Lungo la verticale agiscono tre forze: la forza $p_{1} A$ verso il basso sulla base superiore, la forza $p_{2} A$ verso l’alto sulla base inferiore e il peso $m g = ρ A (y_{1} - y_{2}) g$ , dove si è usato che la densità è uniforme. L’equilibrio lungo la verticale dà

p_{2} A - p_{1} A - ρ g A (y_{1} - y_{2}) = 0,

e dividendo per $A$ si ottiene la tesi. Con un cilindro orizzontale il peso non ha componenti lungo l’asse, perciò le pressioni sulle due basi sono uguali, quindi punti alla stessa quota hanno la stessa pressione. Infine, prendendo il punto $1$ sulla superficie libera, dove $p_{1} = p_{0}$ , e posto $h = y_{1} - y_{2}$ , si ottiene $p = p_{0} + ρ g h$ .

Il cilindro di liquido fra le quote

y_{2}

y_{1}

è in equilibrio sotto il peso e le forze di pressione sulle due basi

1. Pressione assoluta e pressione relativa

La pressione $p$ che compare nella legge di Stevino è la pressione assoluta. La differenza $p - p_{0}$ tra la pressione assoluta e quella atmosferica si chiama pressione relativa (o manometrica): è la grandezza misurata dai manometri e dai misuratori della pressione degli pneumatici, che segnano zero all’aria aperta. In un liquido con la superficie libera a contatto con l’atmosfera la pressione relativa alla profondità $h$ è $ρ g h$ . La distinzione conta nel calcolo delle forze: su una parete che ha da un lato il liquido e dall’altro l’aria, la pressione atmosferica agisce su entrambe le facce, quindi la forza risultante si calcola con la sola pressione relativa.

Vasi comunicanti e tubo a U

In recipienti comunicanti che contengono lo stesso liquido in quiete le superfici libere, tutte alla pressione $p_{0}$ , stanno alla stessa quota, qualunque sia la forma dei recipienti. È una conseguenza diretta della legge di Stevino, perché punti dello stesso liquido alla stessa pressione hanno la stessa quota. Se un tubo a U contiene due liquidi che non si mescolano, di densità $ρ_{1}$ e $ρ_{2}$ , si sceglie la quota della superficie di separazione: i punti $A$ e $B$ a quella quota nei due rami stanno nello stesso liquido connesso, quindi hanno la stessa pressione. Indicate con $h_{1}$ e $h_{2}$ le altezze delle colonne di liquido sopra quella quota, si ha $p_{0} + ρ_{1} g h_{1} = p_{0} + ρ_{2} g h_{2}$ , cioè

ρ_{1} h_{1} = ρ_{2} h_{2} .

Le altezze sono inversamente proporzionali alle densità, e il confronto tra le colonne permette di misurare la densità di un liquido rispetto a quella dell’acqua.

Tubo a U con olio e acqua: i punti

A

B

stanno alla stessa quota nello stesso liquido, quindi

ρ_{1} g h_{1} = ρ_{2} g h_{2}

Barometro di Torricelli

Un tubo lungo circa un metro, chiuso a un’estremità e pieno di mercurio, viene capovolto in una vaschetta di mercurio. Il mercurio scende fino a un’altezza $h$ sopra la superficie della vaschetta e sopra di esso resta un volume in cui la pressione è trascurabile. Il punto del tubo alla quota della superficie della vaschetta ha la stessa pressione $p_{0}$ dell’aria, e per la legge di Stevino vale $p_{0} = 0 + ρ_{Hg} g h$ . Il barometro misura quindi la pressione atmosferica attraverso un’altezza: con $h = 760 mm$ si ottiene $p_{0} = 13, 6 \cdot 1 0^{3} \cdot 9, 81 \cdot 0, 760 \approx 1, 01 \cdot 1 0^{5} Pa$ . Con l’acqua, che è $13, 6$ volte meno densa, la colonna equivalente è alta $\frac{p _{0}}{ρ g} \approx 10, 3 m$ .

2. Forza su una parete verticale

Un liquido di densità $ρ$ in quiete, con la superficie libera a contatto con l’aria, bagna una parete verticale rettangolare di larghezza $w$ fino all’altezza $H$ , e dall’altro lato della parete c’è aria alla pressione $p_{0}$ . Allora la forza risultante che il liquido esercita sulla parete è perpendicolare alla parete e ha modulo

F = \frac{1}{2} ρ g w H^{2} .

La forza cresce con il quadrato della profondità, ed è il motivo per cui le dighe hanno la base più spessa della sommità. Per una paratia larga $4, 0 m$ con l’acqua alta $3, 0 m$ si ha $F = \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot 9, 81 \cdot 4, 0 \cdot 9, 0 \approx 1, 77 \cdot 1 0^{5} N$ .

Dimostrazione

La pressione non è uniforme sulla parete, quindi la si divide in strisce orizzontali di altezza $d z$ , alla profondità $z$ , su ciascuna delle quali la pressione si può considerare costante. Sulla striscia, di area $w d z$ , la pressione relativa è $ρ g z$ , perché la pressione atmosferica agisce su entrambe le facce della parete e il suo contributo si annulla. Le forze sulle strisce sono tutte perpendicolari alla parete, quindi si sommano come numeri e la forza totale è l’integrale

F = \int_{0}^{H} ρ g z w d z = ρ g w [\frac{z ^{2}}{2}]_{0}^{H} = \frac{1}{2} ρ g w H^{2} .

Lo stesso risultato si scrive $F = ρ g \frac{H}{2} (w H)$ : è l’area bagnata moltiplicata per la pressione relativa a metà altezza, che è la pressione media perché la pressione cresce linearmente con la profondità.

La teoria continua con 7 altri paragrafi (principio di pascal e torchio idraulico, principio di archimede, galleggiamento…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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