Teoria

Sistemi di punti, quantità di moto e urti

Come quantità di moto, impulso e centro di massa descrivono i sistemi di più corpi, perché in assenza di forze esterne la quantità di moto totale si conserva e come questa legge, insieme all'energia, risolve urti, esplosioni e il moto di un razzo.

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Quantità di moto di un punto materiale
Impulso e teorema dell’impulso

Quantità di moto di un punto materiale

1. Quantità di moto

Sia $P$ un punto materiale di massa $m$ che si muove con velocità $v$ . La quantità di moto di $P$ è il vettore

p = m v .

Ha la direzione e il verso della velocità e si misura in $kg \cdot m/s$ , unità che coincide con $N \cdot s$ . Due corpi con la stessa velocità hanno quantità di moto proporzionali alle masse; per esempio un’automobile di $1200 kg$ a $15 m/s$ ha $p = 1, 8 \cdot 1 0^{4} kg \cdot m/s$ , una palla da tennis di $0, 058 kg$ a $30 m/s$ ha $p \approx 1, 7 kg \cdot m/s$ . La quantità di moto è la grandezza che si scambiano i corpi quando interagiscono, e nei problemi di urto è la prima a essere scritta.

2. Secondo principio della dinamica in termini di quantità di moto

Il secondo principio della dinamica, che è un principio sperimentale e per il quale si rimanda all’argomento sulle leggi di Newton, si può scrivere nella forma

F = \frac{d p}{d t},

dove $F$ è la risultante delle forze che agiscono sul punto. Se la massa è costante si ha $\frac{d p}{d t} = m \frac{d v}{d t} = m a$ , quindi la scrittura coincide con $F = m a$ . La forma con $p$ dice che la forza misura la rapidità con cui cambia la quantità di moto, e da questa forma partono il teorema dell’impulso e l’equazione dei sistemi a massa variabile. Per esempio, se su un corpo la quantità di moto cresce in modo uniforme di $6, 0 kg \cdot m/s$ ogni $2, 0 s$ , la forza risultante ha modulo $3, 0 N$ .

Impulso e teorema dell’impulso

1. Impulso di una forza

Sia $F (t)$ una forza che agisce su un punto nell’intervallo di tempo $[t_{1}, t_{2}]$ . L’impulso della forza nell’intervallo è il vettore

J = \int_{t_{1}}^{t_{2}} F (t) d t,

calcolato componente per componente. Per una forza costante l’impulso è $J = F Δ t$ , con $Δ t = t_{2} - t_{1}$ . Se la forza ha direzione fissa, il modulo dell’impulso è l’area sotto il grafico di $F (t)$ , e questo permette di calcolarlo anche quando la forza è nota solo per punti o con un grafico.

L'impulso della forza

F (t) = F_{m a x} sin \frac{π t}{τ}

, con

F_{m a x} = 3 kN

τ = 4 ms

, è l'area colorata

J = \frac{2 F _{m a x} τ}{π} \approx 7, 6 N \cdot s

; il rettangolo tratteggiato di base

τ

e altezza

F_{m} \approx 1, 9 kN

ha la stessa area

2. Teorema dell'impulso

Sia $F (t)$ la risultante delle forze che agiscono su un punto materiale nell’intervallo $[t_{1}, t_{2}]$ . Allora l’impulso della risultante è uguale alla variazione della quantità di moto:

J = p (t_{2}) - p (t_{1}) = Δ p .

Il teorema collega una grandezza che dipende da tutta la storia della forza, l’impulso, a una differenza tra due istanti. Serve quando la forza è intensa, breve e non misurabile istante per istante, come nel colpo di una racchetta o nell’urto contro un muro; in questi casi dalla variazione della velocità si ricava l’impulso, e da questo la forza media.

Dimostrazione

Per il secondo principio in termini di quantità di moto, in ogni istante $F (t) = \frac{d p}{d t}$ . Integrando i due membri tra $t_{1}$ e $t_{2}$ , componente per componente, e applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale al secondo membro si ottiene

\int_{t_{1}}^{t_{2}} F (t) d t = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{d p}{d t} d t = p (t_{2}) - p (t_{1}),

cioè la tesi.

3. Forza media

La forza media nell’intervallo $[t_{1}, t_{2}]$ è la forza costante che nello stesso intervallo produce lo stesso impulso:

F_{m} = \frac{J}{Δ t} = \frac{Δ p}{Δ t} .

Nel grafico di $F (t)$ è l’altezza del rettangolo di base $Δ t$ con la stessa area. A parità di variazione della quantità di moto, la forza media è tanto più piccola quanto più lungo è il tempo di contatto; per questo un airbag o un tappeto di gommapiuma riducono la forza sul corpo che si arresta.

Palla da tennis contro un muro

Una palla da tennis di massa $m = 0, 058 kg$ arriva perpendicolarmente a un muro con velocità di modulo $30 m/s$ e rimbalza all’indietro a $25 m/s$ ; il contatto dura $Δ t = 4, 0 ms$ . Con l’asse $x$ orientato dal muro verso l’esterno, $v_{1} = - 30 m/s$ e $v_{2} = 25 m/s$ , quindi

J_{x} = m (v_{2} - v_{1}) = 0, 058 \cdot 55 kg \cdot m/s \approx 3, 2 N \cdot s, F_{m} = \frac{J _{x}}{Δ t} \approx 8, 0 \cdot 1 0^{2} N .

La variazione di velocità è la somma dei due moduli, perché la velocità cambia verso. La forza media del muro è circa $1400$ volte il peso della palla, che vale $0, 57 N$ .

Forze impulsive

Si dicono impulsive le forze molto intense che agiscono per un tempo molto breve, come quelle di contatto in un urto. Durante un intervallo $Δ t$ piccolo, una forza di modulo limitato, come il peso o l’attrito, produce un impulso di modulo al più $F_{m a x} Δ t$ , che tende a zero con $Δ t$ ; le forze impulsive invece producono un impulso finito. Perciò nell’intervallo dell’urto si possono trascurare tutte le forze non impulsive. Nell’esempio della palla da tennis l’impulso del peso durante il contatto vale $0, 57 \cdot 0, 004 N \cdot s \approx 2 \cdot 1 0^{- 3} N \cdot s$ , contro $3, 2 N \cdot s$ dell’impulso del muro.

La teoria continua con 7 altri paragrafi (sistemi di punti e centro di massa, moto del centro di massa, conservazione della quantità di moto…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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