Esercizi svolti · Scheda 1

Temperature di equilibrio in un calorimetro

Teoria usata: Calore Capacità termica e calore specifico Temperatura di equilibrio Calorimetro reale ed equivalente in acqua

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Esercizio 1

In un calorimetro ideale si versano $0, 30 kg$ di acqua a $80^{\circ} C$ e $0, 50 kg$ di acqua a $20^{\circ} C$ . Calcolare la temperatura di equilibrio.

Q_{1} + Q_{2} = 0

m_{1} c_{a} (T_{e} - T_{1}) + m_{2} c_{a} (T_{e} - T_{2}) = 0

T_{e} = \frac{m _{1} T _{1} + m _{2} T _{2}}{m _{1} + m _{2}}

T_{e} = \frac{0 , 30 \cdot 80 + 0 , 50 \cdot 20}{0 , 30 + 0 , 50}^{\circ} C = \frac{34}{0 , 80}^{\circ} C = 42, 5^{\circ} C

Il calorimetro è ideale, cioè ha pareti adiabatiche e capacità termica trascurabile, quindi il calore ceduto dall’acqua calda è tutto assorbito dall’acqua fredda e la somma dei calori scambiati è nulla. Ciascun calore si scrive con la legge della calorimetria $Q = m c Δ T$ , con $Δ T = T_{e} - T_{iniziale}$ ; in questo modo il segno è automatico, perché $Q_{1} < 0$ per l’acqua che si raffredda e $Q_{2} > 0$ per quella che si scalda. Le due masse sono della stessa sostanza, perciò il calore specifico $c_{a}$ si semplifica e la temperatura di equilibrio è la media delle temperature pesata con le masse. Le temperature compaiono solo in differenze, quindi si possono lasciare in gradi Celsius.

Come controllo, $42, 5^{\circ} C$ è compreso tra $20^{\circ} C$ e $80^{\circ} C$ ed è più vicino a $20^{\circ} C$ , la temperatura della massa maggiore.

Esercizio 2

Un blocco di rame di massa $0, 200 kg$ alla temperatura di $150^{\circ} C$ viene immerso in $0, 400 kg$ di acqua a $20, 0^{\circ} C$ , contenuta in un recipiente di alluminio di massa $0, 100 kg$ che si trova alla temperatura dell’acqua. Il recipiente è isolato termicamente dall’esterno. Calcolare la temperatura di equilibrio e il calore ceduto dal rame. Calori specifici: $c_{Cu} = 385 J/ (kg \cdot K)$ , $c_{Al} = 900 J/ (kg \cdot K)$ , $c_{a} = 4186 J/ (kg \cdot K)$ .

m_{Cu} c_{Cu} (T_{e} - T_{Cu}) + (m_{a} c_{a} + m_{Al} c_{Al}) (T_{e} - T_{0}) = 0

T_{e} = \frac{m _{Cu} c _{Cu} T _{Cu} + ( m _{a} c _{a} + m _{Al} c _{Al} ) T _{0}}{m _{Cu} c _{Cu} + m _{a} c _{a} + m _{Al} c _{Al}}

m_{Cu} c_{Cu} = 77, 0 J/K, m_{a} c_{a} = 1674, 4 J/K, m_{Al} c_{Al} = 90, 0 J/K

T_{e} = \frac{77 , 0 \cdot 150 + ( 1674 , 4 + 90 , 0 ) \cdot 20 , 0}{77 , 0 + 1674 , 4 + 90 , 0}^{\circ} C = \frac{46 838}{1841 , 4}^{\circ} C \approx 25, 4^{\circ} C

Q_{Cu} = m_{Cu} c_{Cu} (T_{e} - T_{Cu}) = 77, 0 \cdot (25, 4 - 150) J \approx - 9, 59 \cdot 1 0^{3} J

Il sistema formato da rame, acqua e recipiente è isolato, quindi la somma dei calori scambiati dai tre corpi è nulla. L’acqua e il recipiente partono dalla stessa temperatura $T_{0} = 20, 0^{\circ} C$ e arrivano alla stessa $T_{e}$ , perciò i loro termini si raccolgono con la capacità termica complessiva $m_{a} c_{a} + m_{Al} c_{Al}$ . Risolvendo l’equazione lineare in $T_{e}$ si ottiene la temperatura di equilibrio, che è la media delle temperature iniziali pesata con le capacità termiche.

Il calore del rame si calcola con la legge della calorimetria; il segno negativo indica che il rame cede circa $9, 6 kJ$ . La capacità termica del rame è circa ventitré volte minore di quella di acqua e recipiente, quindi la temperatura di equilibrio resta vicina a $20^{\circ} C$ , come il risultato conferma.

Esercizio 3

Un calorimetro contiene $0, 200 kg$ di acqua a $20, 0^{\circ} C$ . Si aggiungono $0, 100 kg$ di acqua a $60, 0^{\circ} C$ e la temperatura di equilibrio risulta $32, 0^{\circ} C$ .

Determinare l’equivalente in acqua del calorimetro.
Il calorimetro, svuotato e riportato a $20, 0^{\circ} C$ , contiene ora $0, 250 kg$ di acqua a $20, 0^{\circ} C$ . Vi si immerge un blocco di metallo di massa $0, 150 kg$ alla temperatura di $100, 0^{\circ} C$ , e la temperatura di equilibrio è $24, 0^{\circ} C$ . Determinare il calore specifico del metallo.

(m_{1} + m_{e}) c_{a} (T_{e} - T_{1}) + m_{2} c_{a} (T_{e} - T_{2}) = 0

m_{e} = \frac{m _{2} ( T _{2} - T _{e} )}{T _{e} - T _{1}} - m_{1}

m_{e} = (\frac{0 , 100 \cdot 28 , 0}{12 , 0} - 0, 200) kg = (0, 2333 - 0, 200) kg \approx 0, 0333 kg

(m_{a} + m_{e}) c_{a} (T_{e}^{'} - T_{1}) + m_{x} c_{x} (T_{e}^{'} - T_{x}) = 0

c_{x} = \frac{( m _{a} + m _{e} ) c _{a} ( T _{e}^{'} - T _{1} )}{m _{x} ( T _{x} - T _{e}^{'} )}

c_{x} = \frac{0 , 2833 \cdot 4186 \cdot 4 , 0}{0 , 150 \cdot 76 , 0} J/ (kg \cdot K) = \frac{4744}{11 , 4} J/ (kg \cdot K) \approx 416 J/ (kg \cdot K)

Il calorimetro reale assorbe calore, e se ne tiene conto con l’equivalente in acqua $m_{e}$ ; nel bilancio il calorimetro si comporta come una massa $m_{e}$ di acqua alla temperatura iniziale dell’acqua che contiene, cioè $T_{1} = 20, 0^{\circ} C$ . Nel primo esperimento tutte le sostanze sono acqua, quindi $c_{a}$ si semplifica e l’unica incognita è $m_{e}$ . Il risultato, $33 g$ , dice che il recipiente con i suoi accessori assorbe calore come $33 g$ di acqua.

Nel secondo esperimento il calorimetro e l’acqua partono entrambi da $20, 0^{\circ} C$ , perciò compaiono insieme con la massa $m_{a} + m_{e}$ . L’equazione di bilancio è lineare nell’incognita $c_{x}$ , che si isola dividendo per $m_{x} (T_{x} - T_{e}^{'})$ . Il metallo ha calore specifico $c_{x} \approx 416 J/ (kg \cdot K)$ , un valore compreso tra quello del rame e quello del ferro e quindi plausibile per un metallo. Trascurare l’equivalente in acqua avrebbe dato $367 J/ (kg \cdot K)$ , con un errore di circa il dodici per cento.