Teoria

Temperatura, calore e primo principio della termodinamica

Come si misura la temperatura, come il calore cambia temperatura e stato dei corpi, come si descrive un gas perfetto e come il primo principio collega calore, lavoro ed energia interna nelle trasformazioni e nei cicli.

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Temperatura ed equilibrio termico
Dilatazione termica

Temperatura ed equilibrio termico

1. Sistema termodinamico e variabili di stato

Un sistema termodinamico è una porzione di materia separata dal resto, l’ambiente, da una superficie reale o ideale; un gas chiuso in un cilindro con pistone ne è l’esempio tipico. Il sistema è chiuso se non scambia materia con l’ambiente, isolato se non scambia né materia né energia. Lo stato di equilibrio di un sistema si descrive con poche grandezze macroscopiche, le variabili di stato: per un gas sono la pressione $p$ , il volume $V$ , la temperatura $T$ e la quantità di sostanza $n$ . Una grandezza che dipende solo dallo stato, e non dal modo in cui il sistema ci è arrivato, si chiama funzione di stato; l’energia interna ne sarà l’esempio principale.

2. Equilibrio termico

Due sistemi messi in contatto attraverso una parete che consente scambi di energia, detta parete diatermica, evolvono finché le loro variabili di stato smettono di cambiare; a quel punto si dicono in equilibrio termico. Una parete che impedisce questi scambi si dice adiabatica, e un thermos approssima un recipiente con pareti adiabatiche. Ogni misura di temperatura si basa sull’equilibrio termico, perché il termometro indica il proprio stato quando ha raggiunto l’equilibrio con il corpo misurato.

3. Principio zero della termodinamica

Se due sistemi $A$ e $B$ sono ciascuno in equilibrio termico con un terzo sistema $C$ , allora $A$ e $B$ sono in equilibrio termico tra loro.

È un principio, cioè un’affermazione ricavata dall’esperienza e non dimostrabile a partire da altre leggi. Permette di definire la temperatura come la grandezza che assume lo stesso valore in tutti i sistemi in equilibrio termico tra loro, e giustifica l’uso del termometro. Il termometro ha il ruolo del sistema $C$ ; se segna lo stesso valore a contatto con $A$ e con $B$ , allora i due corpi sono in equilibrio termico anche senza essere mai stati messi a contatto.

4. Scale termometriche

Una scala termometrica associa un numero alla temperatura per mezzo di una grandezza che varia con essa, come la lunghezza di una colonna di mercurio o la pressione di un gas a volume costante, e di due punti fissi riproducibili. Le scale in uso sono tre.

Scala Celsius: $0^{\circ} C$ è la fusione del ghiaccio e $100^{\circ} C$ l’ebollizione dell’acqua alla pressione di $1 atm$ .
Scala Kelvin, o assoluta, che è quella del Sistema Internazionale: ha gli stessi intervalli della Celsius e lo zero nello zero assoluto, la temperatura minima, che non si può raggiungere; vale $T = t_{C} + 273, 15$ , con $T$ in kelvin e $t_{C}$ in gradi Celsius.
Scala Fahrenheit: la fusione del ghiaccio è a $32^{\circ} F$ e l’ebollizione a $212^{\circ} F$ , quindi cento gradi Celsius corrispondono a centottanta gradi Fahrenheit e $t_{F} = \frac{9}{5} t_{C} + 32$ .

Poiché il kelvin e il grado Celsius hanno la stessa ampiezza, una differenza di temperatura ha lo stesso valore nelle due scale: $Δ T = 20 K$ equivale a $Δ t_{C} = 20^{\circ} C$ . Nelle formule che contengono $T$ e non $Δ T$ , come l’equazione di stato dei gas, si usa invece la temperatura in kelvin. Per esempio $37^{\circ} C$ corrispondono a $310, 15 K$ e a $\frac{9}{5} \cdot 37 + 32 = 98, 6^{\circ} F$ .

Dilatazione termica

1. Dilatazione lineare

Quando la temperatura di un solido aumenta, in generale le sue dimensioni aumentano. Per una sbarra di lunghezza $L_{0}$ alla temperatura $T_{0}$ , in un intervallo di temperatura non troppo ampio, l’allungamento è proporzionale alla lunghezza iniziale e alla variazione di temperatura:

Δ L = α L_{0} Δ T, L = L_{0} (1 + α Δ T) .

La costante $α$ è il coefficiente di dilatazione lineare, si misura in $K^{- 1}$ e dipende dal materiale; vale circa $1, 2 \cdot 1 0^{- 5} K^{- 1}$ per l’acciaio e $2, 3 \cdot 1 0^{- 5} K^{- 1}$ per l’alluminio. La legge è sperimentale e serve a dimensionare i giunti di dilatazione di ponti e binari. Una rotaia di acciaio lunga $10 m$ che si scalda di $30 K$ si allunga di $1, 2 \cdot 1 0^{- 5} \cdot 10 \cdot 30 m = 3, 6 mm$ .

2. Dilatazione superficiale e volumica

Sia dato un solido omogeneo e isotropo con coefficiente di dilatazione lineare $α$ . Per piccole variazioni di temperatura, una superficie $S_{0}$ e un volume $V_{0}$ del solido variano di

Δ S = 2 α S_{0} Δ T, Δ V = β V_{0} Δ T con β = 3 α .

Per un cubo di spigolo $ℓ_{0}$ si ha infatti $V = ℓ_{0}^{3} (1 + α Δ T)^{3} = V_{0} (1 + 3 α Δ T + 3 α^{2} Δ T^{2} + α^{3} Δ T^{3})$ , e poiché $α Δ T$ è dell’ordine di $1 0^{- 3}$ i termini con $α^{2}$ e $α^{3}$ sono trascurabili; per la superficie il ragionamento è lo stesso con il quadrato. Un foro in una lastra si dilata come se fosse pieno dello stesso materiale, e su questo fatto si basa il montaggio a caldo di anelli metallici su un albero. Per i liquidi si considera solo la dilatazione volumica, con un coefficiente $β$ misurato direttamente e in genere maggiore di quello dei solidi. Quando un liquido riempie fino all’orlo un recipiente e i due si scaldano insieme, il volume che trabocca è $(β_{ℓ} - 3 α_{r}) V_{0} Δ T$ , dove $β_{ℓ}$ è il coefficiente del liquido e $α_{r}$ quello del recipiente.

Comportamento dell'acqua

L’acqua tra $0^{\circ} C$ e $4^{\circ} C$ si contrae quando viene scaldata, quindi la sua densità è massima a circa $4^{\circ} C$ . Per questo motivo in un lago che gela d’inverno l’acqua del fondo resta a circa $4^{\circ} C$ , mentre il ghiaccio, meno denso dell’acqua liquida, si forma in superficie.

La teoria continua con 8 altri paragrafi (calore e calorimetria, cambiamenti di stato e propagazione del calore, gas perfetto ed equazione di stato…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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