Cinematica in una dimensione

1. Punto materiale

Un corpo si descrive come punto materiale quando le sue dimensioni sono trascurabili rispetto alle distanze percorse, così che la sua posizione è individuata da un solo punto. Un’automobile che percorre $100\mathrm{km}$ di autostrada è un punto materiale; la stessa automobile che fa manovra in un parcheggio largo pochi metri non lo è. La cinematica descrive il moto del punto materiale con la posizione, la velocità e l’accelerazione, senza occuparsi delle cause del moto, che sono l’oggetto della dinamica (si rimanda all’argomento sulle leggi di Newton).

2. Sistema di riferimento

Un moto è rettilineo se il punto si muove lungo una retta. Per descriverlo si fissa un sistema di riferimento formato da

• un asse $x$ sovrapposto alla retta del moto, con un’origine $O$, un verso positivo e un’unità di lunghezza, il metro;
• un orologio che misura il tempo $t$ in secondi a partire da un istante iniziale scelto.

La posizione del punto all’istante $t$ è la sua coordinata $x$ sull’asse, positiva o negativa secondo il lato di $O$ in cui si trova. L’origine, il verso e l’istante iniziale si scelgono liberamente, e una scelta adatta semplifica i conti: per un sasso che cade si può orientare l’asse verso l’alto con l’origine al suolo, oppure verso il basso con l’origine nel punto di partenza. Posizione, spostamento, velocità e accelerazione sono vettori, e nel moto rettilineo hanno tutti la direzione dell’asse; perciò ciascuno è descritto dalla sola componente lungo l’asse, un numero con segno. Per i vettori nel piano si rimanda all’argomento sul moto nel piano.

3. Legge oraria

La legge oraria del moto è la funzione $t\mapsto x(t)$ che a ogni istante associa la posizione del punto. Il suo grafico nel piano $(t,x)$, con il tempo in ascissa e la posizione in ordinata, è il grafico orario. Il grafico orario è diverso dalla traiettoria, che nel moto rettilineo è un tratto dell’asse $x$; il grafico mostra in più quando il punto occupa ciascuna posizione. Per esempio la legge $x(t)=4t-t^2$, con $x$ in metri e $t$ in secondi, descrive un punto che parte dall’origine, avanza fino a $x=4\mathrm{m}$ all’istante $t=2\mathrm{s}$ e poi torna indietro, ripassando per l’origine all’istante $t=4\mathrm{s}$. In una legge scritta con i soli numeri i coefficienti hanno le unità che rendono omogenei i termini; qui $4m/s$ e $1m/{\mathrm{s}}^2$.

4. Spostamento e distanza percorsa

Lo spostamento del punto tra gli istanti $t_1$ e $t_2$ è la differenza delle posizioni

È positivo se la posizione finale si trova dalla parte positiva dell’asse rispetto a quella iniziale, negativo nel caso opposto, e dipende solo dalle due posizioni estreme. La distanza percorsa è la lunghezza totale del cammino, e coincide con $|\Delta x|$ solo se il punto non inverte mai il verso del moto tra $t_1$ e $t_2$. Per la legge $x(t)=4t-t^2$ tra $0$ e $5\mathrm{s}$ lo spostamento è $x(5)-x(0)=-5\mathrm{m}$, mentre la distanza percorsa è $4\mathrm{m}$ all’andata più $9\mathrm{m}$ al ritorno, cioè $13\mathrm{m}$.

1. Velocità media

La velocità media tra gli istanti $t_1$ e $t_2>t_1$ è il rapporto tra lo spostamento e l’intervallo di tempo:

Si misura in $m/s$; per passare dai $km/h$ ai $m/s$ si divide per $3,6$, poiché $1km/h=\frac{1000\mathrm{m}}{3600\mathrm{s}}$. Il segno di $v_m$ indica il verso dello spostamento complessivo, e nel grafico orario $v_m$ è la pendenza della retta secante per i punti $(t_1,x(t_1))$ e $(t_2,x(t_2))$. Il rapporto tra la distanza percorsa e il tempo impiegato si chiama velocità scalare media ed è sempre positivo. Per la legge $x(t)=4t-t^2$ tra $0$ e $5\mathrm{s}$ si ha $v_m=\frac{-5\mathrm{m}}{5\mathrm{s}}=-1m/s$, mentre la velocità scalare media vale $\frac{13\mathrm{m}}{5\mathrm{s}}=2,6m/s$.

2. Velocità istantanea

La velocità istantanea all’istante $t$ è il limite della velocità media su intervalli di tempo sempre più brevi che iniziano in $t$:

cioè la derivata della legge oraria. Nel grafico orario $v(t)$ è la pendenza della retta tangente. Perciò il punto si muove nel verso positivo dell’asse dove $x(t)$ cresce ($v>0$), nel verso negativo dove $x(t)$ decresce ($v<0$), ed è fermo per un istante dove la tangente è orizzontale ($v=0$). Il modulo $|v|$ misura la rapidità del moto, ed è il valore indicato dal tachimetro. Per $x(t)=4t-t^2$ si ha $v(t)=4-2t$, quindi $v(0)=4m/s$, $v(2)=0$ e $v(5)=-6m/s$; all’istante $t=2\mathrm{s}$ il punto inverte il verso del moto.