Esercizi svolti · Scheda 3

Vettori ortogonali e proiezioni ortogonali

Teoria usata: Vettori ortogonali Prodotto scalare in componenti Proiezione ortogonale su un vettore Proprietà del prodotto scalare

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Esercizio 1

Determinare i valori di $k \in R$ per cui i vettori $u = (k, 2, - 1)$ e $v = (k, k, 3)$ sono ortogonali.

u \cdot v = k \cdot k + 2 \cdot k + (- 1) \cdot 3 = k^{2} + 2 k - 3

k^{2} + 2 k - 3 = 0 ⟺ (k + 3) (k - 1) = 0 ⟺ k = - 3 oppure k = 1

Due vettori sono ortogonali quando il loro prodotto scalare è nullo, quindi la condizione si traduce in un’equazione nel parametro. Il prodotto scalare in componenti è il polinomio $k^{2} + 2 k - 3$ , che si scompone come $(k + 3) (k - 1)$ . Perciò i vettori sono ortogonali per $k = - 3$ e per $k = 1$ . Per $k = 1$ , per esempio, si ha $u = (1, 2, - 1)$ , $v = (1, 1, 3)$ e $u \cdot v = 1 + 2 - 3 = 0$ .

Esercizio 2

Decomporre il vettore $v = (4, 3)$ nella somma di un vettore parallelo a $u = (1, 2)$ e di un vettore ortogonale a $u$ .

v \cdot u = 4 + 6 = 10, ∥ u ∥^{2} = 1 + 4 = 5

v_{∥} = \frac{v \cdot u}{∥ u ∥ ^{2}} u = \frac{10}{5} (1, 2) = (2, 4)

v_{⊥} = v - v_{∥} = (4, 3) - (2, 4) = (2, - 1)

v_{⊥} \cdot u = 2 - 2 = 0

v = (4, 3)

è la somma di

v_{∥} = (2, 4)

, sulla retta di

u

(tratteggiata), e di

v_{⊥} = (2, - 1)

, ortogonale a quella retta

La decomposizione richiesta è quella del teorema sulla proiezione ortogonale: la parte parallela è la proiezione di $v$ sulla direzione di $u$ , la parte ortogonale è la differenza tra $v$ e la proiezione. Il coefficiente $\frac{v \cdot u}{∥ u ∥ ^{2}}$ vale $2$ , quindi $v_{∥} = 2 u = (2, 4)$ e $v_{⊥} = (2, - 1)$ . Il prodotto scalare $v_{⊥} \cdot u$ è nullo, perciò la parte ortogonale è effettivamente ortogonale a $u$ , e la somma delle due parti restituisce $v$ .

Esercizio 3

Calcolare la proiezione ortogonale di $v = (3, 4, - 4)$ sulla direzione di $u = (2, 1, - 2)$ e la componente di $v$ ortogonale a $u$ .

v \cdot u = 6 + 4 + 8 = 18, ∥ u ∥^{2} = 4 + 1 + 4 = 9

pr_{u} (v) = \frac{18}{9} (2, 1, - 2) = (4, 2, - 4)

v_{⊥} = (3, 4, - 4) - (4, 2, - 4) = (- 1, 2, 0), v_{⊥} \cdot u = - 2 + 2 + 0 = 0

Il procedimento è lo stesso del piano, con tre componenti. Il prodotto scalare $v \cdot u$ vale $18$ e il quadrato del modulo di $u$ vale $9$ , quindi il coefficiente della proiezione è $2$ e la proiezione ortogonale è $(4, 2, - 4)$ . Sottraendo la proiezione da $v$ si ottiene la componente ortogonale $(- 1, 2, 0)$ , e il prodotto scalare nullo con $u$ conferma il calcolo. Il numero $\frac{v \cdot u}{∥ u ∥} = \frac{18}{3} = 6$ è la lunghezza con segno della proiezione, positiva perché l’angolo tra $v$ e $u$ è acuto.

Esercizio 4

Dato il triangolo di vertici $A = (0, 1, 1)$ , $B = (4, - 3, 3)$ , $C = (1, - 2, 2)$ , determinare il piede $H$ dell’altezza uscente da $C$ e la lunghezza dell’altezza $C H$ .

A B = (4, - 4, 2), A C = (1, - 3, 1)

A C \cdot A B = 4 + 12 + 2 = 18, ∥ A B ∥^{2} = 16 + 16 + 4 = 36

A H = pr_{A B} (A C) = \frac{18}{36} (4, - 4, 2) = (2, - 2, 1)

H = A + A H = (0 + 2, 1 - 2, 1 + 1) = (2, - 1, 2)

H C = A C - A H = (1, - 3, 1) - (2, - 2, 1) = (- 1, - 1, 0), ∥ H C ∥ = 2

Il piede $H$ dell’altezza è il punto della retta $A B$ tale che $H C$ è ortogonale ad $A B$ . Applicando il vettore $A C$ nel punto $A$ e decomponendolo rispetto alla direzione di $A B$ , la parte parallela è $A H$ e la parte ortogonale è $H C$ . Il coefficiente della proiezione vale $\frac{18}{36} = \frac{1}{2}$ , quindi $H$ è il punto medio del lato $A B$ , cioè $H = (2, - 1, 2)$ . L’altezza è il modulo della parte ortogonale, perciò $C H = 2$ . Come controllo, $H C \cdot A B = - 4 + 4 + 0 = 0$ .