Esercizi svolti · Scheda 2

Angoli tra vettori con il prodotto scalare

Teoria usata: Angolo tra due vettori Prodotto scalare Prodotto scalare in componenti Calcolo dell'angolo

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Esercizio 1

Calcolare l’angolo tra i vettori $u = (1, 0, 1)$ e $v = (- 2, 2, 0)$ .

u \cdot v = 1 \cdot (- 2) + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 0 = - 2

∥ u ∥ = 1 + 0 + 1 = 2, ∥ v ∥ = 4 + 4 + 0 = 22

cos θ = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥ ∥ v ∥} = \frac{- 2}{2 \cdot 2 2} = \frac{- 2}{4} = - \frac{1}{2} ⟹ θ = \frac{2 π}{3}

Il prodotto scalare in componenti è la somma dei prodotti delle componenti corrispondenti e vale $- 2$ . Il segno negativo indica già che l’angolo è ottuso. Dividendo per il prodotto dei moduli si ottiene $cos θ = - \frac{1}{2}$ . Poiché l’angolo tra due vettori appartiene all’intervallo $[0, π]$ , dove il coseno è invertibile, l’unico angolo con questo coseno è $θ = \frac{2 π}{3}$ .

Esercizio 2

Calcolare gli angoli del triangolo di vertici $A = (1, 0, 1)$ , $B = (2, 1, 1)$ , $C = (0, 0, 2)$ .

A B = (1, 1, 0), A C = (- 1, 0, 1), B C = (- 2, - 1, 1)

cos \hat{A} = \frac{A B \cdot A C}{∥ A B ∥ ∥ A C ∥} = \frac{- 1 + 0 + 0}{2 \cdot 2} = - \frac{1}{2} ⟹ \hat{A} = \frac{2 π}{3}

B A = (- 1, - 1, 0), cos \hat{B} = \frac{B A \cdot B C}{∥ B A ∥ ∥ B C ∥} = \frac{2 + 1 + 0}{2 \cdot 6} = \frac{3}{12} = \frac{3}{2} ⟹ \hat{B} = \frac{π}{6}

\hat{C} = π - \frac{2 π}{3} - \frac{π}{6} = \frac{π}{6}

L’angolo in un vertice è l’angolo tra i due vettori che escono da quel vertice. Per il vertice $A$ si usano $A B$ e $A C$ , e si ottiene $\hat{A} = \frac{2 π}{3}$ . Per il vertice $B$ i vettori uscenti sono $B A = - A B$ e $B C$ ; usare $A B$ al posto di $B A$ cambierebbe il segno del prodotto scalare e darebbe l’angolo supplementare. Con i vettori corretti risulta $cos \hat{B} = \frac{3}{2}$ , quindi $\hat{B} = \frac{π}{6}$ . Il terzo angolo segue dal fatto che la somma degli angoli di un triangolo è $π$ , perciò $\hat{C} = \frac{π}{6}$ ; il triangolo è isoscele, in accordo con $∥ A B ∥ = ∥ A C ∥ = 2$ .

Esercizio 3

Determinare i valori di $k \in R$ per cui l’angolo tra $u = (0, 1, 1)$ e $v = (1, k, 0)$ è $\frac{π}{3}$ .

u \cdot v = k, ∥ u ∥ = 2, ∥ v ∥ = 1 + k^{2}

\frac{k}{2 1 + k ^{2}} = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2} ⟺ 2 k = 2 1 + k^{2}

{k \geq 0 4 k^{2} = 2 (1 + k^{2}) ⟺ {k \geq 0 k^{2} = 1 ⟺ k = 1

La condizione sull’angolo si traduce nell’equazione $cos θ = \frac{1}{2}$ , con il coseno espresso mediante il prodotto scalare e i moduli. L’equazione $2 k = 2 1 + k^{2}$ contiene una radice, il cui valore è non negativo; perciò elevare al quadrato è lecito solo insieme alla condizione $k \geq 0$ , e le due condizioni vanno imposte in sistema. L’equazione elevata al quadrato dà $k^{2} = 1$ , cioè $k = \pm 1$ , e la condizione $k \geq 0$ esclude $k = - 1$ . Per $k = - 1$ si avrebbe infatti $cos θ = - \frac{1}{2}$ , cioè l’angolo $\frac{2 π}{3}$ . Il valore cercato è quindi unico, $k = 1$ .