Esercizi svolti · Scheda 1

Operazioni con le componenti, moduli e versori

Teoria usata: Operazioni in componenti Vettore tra due punti e punto medio Modulo di un vettore Distanza tra due punti Versore Combinazione lineare

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Esercizio 1

Dati $u = (- 2, 1, 2)$ e $v = (- 1, 1, - 1)$ , calcolare il vettore $3 u - 2 v$ e il suo modulo.

3 u = (- 6, 3, 6), 2 v = (- 2, 2, - 2)

3 u - 2 v = (- 6 - (- 2), 3 - 2, 6 - (- 2)) = (- 4, 1, 8)

∥3 u - 2 v ∥ = (- 4)^{2} + 1^{2} + 8^{2} = 16 + 1 + 64 = 81 = 9

Le operazioni in componenti si eseguono una componente alla volta: il prodotto per uno scalare moltiplica ogni componente per lo scalare, la differenza sottrae le componenti corrispondenti. Si calcolano quindi prima $3 u$ e $2 v$ , poi la loro differenza, facendo attenzione ai segni delle componenti negative di $2 v$ . Il modulo è la radice quadrata della somma dei quadrati delle componenti, perciò il vettore $(- 4, 1, 8)$ ha modulo $9$ .

Esercizio 2

Dati i punti $A = (1, 2, - 1)$ e $B = (3, - 2, 3)$ , determinare il vettore $A B$ , la distanza $d (A, B)$ , il punto medio $M$ del segmento $A B$ e il versore di $A B$ .

A B = (3 - 1, - 2 - 2, 3 - (- 1)) = (2, - 4, 4)

d (A, B) = ∥ A B ∥ = 4 + 16 + 16 = 36 = 6

M = (\frac{1 + 3}{2}, \frac{2 + ( - 2 )}{2}, \frac{- 1 + 3}{2}) = (2, 0, 1)

\frac{A B}{∥ A B ∥} = \frac{1}{6} (2, - 4, 4) = (\frac{1}{3}, - \frac{2}{3}, \frac{2}{3})

Il vettore $A B$ ha per componenti le differenze tra le coordinate del punto finale $B$ e quelle del punto iniziale $A$ , nell’ordine. La distanza tra i due punti è il modulo di $A B$ , quindi $d (A, B) = 6$ . Il punto medio ha per coordinate le medie delle coordinate di $A$ e di $B$ . Il versore si ottiene dividendo ogni componente di $A B$ per il modulo $6$ ; il risultato ha modulo $1$ , poiché $\frac{1}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4}{9} = 1$ , e ha la stessa direzione e lo stesso verso di $A B$ .

Esercizio 3

Determinare i vettori di modulo $6$ paralleli a $v = (2, - 1, 2)$ e, tra questi, quello che ha verso opposto a $v$ .

∥ v ∥ = 4 + 1 + 4 = 3, \frac{v}{∥ v ∥} = (\frac{2}{3}, - \frac{1}{3}, \frac{2}{3})

w = \pm 6 \cdot \frac{v}{∥ v ∥} = \pm (4, - 2, 4)

verso opposto a v : w = (- 4, 2, - 4) = - 2 v

Un vettore parallelo a $v$ si scrive come multiplo del versore di $v$ , che ha modulo $1$ ; moltiplicando il versore per $6$ e per $- 6$ si ottengono i due vettori di modulo $6$ con la direzione di $v$ . Il coefficiente positivo conserva il verso, il coefficiente negativo lo inverte. Perciò i vettori cercati sono $(4, - 2, 4)$ e $(- 4, 2, - 4)$ , e quello con verso opposto a $v$ è $(- 4, 2, - 4)$ . Come controllo, $(- 4, 2, - 4) = - 2 v$ e $∥ - 2 v ∥ = 2 \cdot 3 = 6$ .

Esercizio 4

Stabilire se il vettore $w = (5, 2, 8)$ è combinazione lineare di $u = (1, 1, 1)$ e $v = (1, 0, 2)$ e, in caso affermativo, determinare i coefficienti.

α (1, 1, 1) + β (1, 0, 2) = (5, 2, 8) ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ α + β = 5 α = 2 α + 2 β = 8

α = 2, β = 5 - 2 = 3, α + 2 β = 2 + 6 = 8

w = 2 u + 3 v

Uguagliando le componenti dei due membri si ottiene un sistema di tre equazioni nelle due incognite $α$ e $β$ . La seconda equazione fornisce subito $α = 2$ , e la prima dà allora $β = 3$ . Con due incognite e tre equazioni la terza equazione va controllata: se non fosse soddisfatta, il sistema non avrebbe soluzioni e $w$ non sarebbe combinazione lineare di $u$ e $v$ . Poiché $2 + 2 \cdot 3 = 8$ , la terza equazione è soddisfatta, quindi $w$ è combinazione lineare di $u$ e $v$ con coefficienti $2$ e $3$ .