Esercizi svolti · Scheda 2

Studi di dipendenza e indipendenza lineare

Teoria usata: Vettori linearmente indipendenti Dipendenza e combinazioni lineari Indipendenza e rango Calcoli in coordinate

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Esercizio 1

Stabilire se i vettori $v_{1} = (1, 2, 1)$ , $v_{2} = (0, 1, 3)$ , $v_{3} = (2, 3, - 1)$ di $R^{3}$ sono linearmente indipendenti; in caso contrario, scrivere una relazione di dipendenza.

a (1, 2, 1) + b (0, 1, 3) + c (2, 3, - 1) = (0, 0, 0) ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ a + 2 c = 0 2 a + b + 3 c = 0 a + 3 b - c = 0

a = - 2 c ⟹ - 4 c + b + 3 c = 0, b = c

a + 3 b - c = - 2 c + 3 c - c = 0 per ogni c

(a, b, c) = c (- 2, 1, 1) ⟹ - 2 v_{1} + v_{2} + v_{3} = 0, v_{3} = 2 v_{1} - v_{2}

Per la definizione di indipendenza lineare si scrive la combinazione nulla e si risolve il sistema omogeneo nelle incognite $a$ , $b$ , $c$ . La prima equazione dà $a = - 2 c$ ; sostituendo nella seconda si ottiene $b = c$ . Con queste due espressioni la terza equazione diventa $0 = 0$ , quindi è conseguenza delle altre e $c$ resta libero. Poiché il sistema ha soluzioni non nulle, i vettori sono linearmente dipendenti. Con $c = 1$ si ottiene la relazione $- 2 v_{1} + v_{2} + v_{3} = 0$ , da cui $v_{3} = 2 v_{1} - v_{2}$ ; il controllo diretto dà $2 (1, 2, 1) - (0, 1, 3) = (2, 3, - 1)$ .

Esercizio 2

Stabilire se i vettori $v_{1} = (1, 0, 1, 2)$ , $v_{2} = (0, 1, 1, - 1)$ , $v_{3} = (1, 1, 0, 1)$ di $R^{4}$ sono linearmente indipendenti.

A = 1012 011 - 1 1101 R_{3} \to R_{3} - R_{1} R_{4} \to R_{4} - 2 R_{1} 1000 011 - 1 11 - 1 - 1

R_{3} \to R_{3} - R_{2} R_{4} \to R_{4} + R_{2} 10000100 11 - 2 0 rk A = 3

I vettori sono tre in $R^{4}$ , quindi la matrice $A$ che li ha come colonne è $4 \times 3$ e il determinante non è definito. Si usa il teorema su indipendenza e rango: i vettori sono indipendenti se e solo se $rk A = 3$ . Dopo la riduzione a scala restano tre righe non nulle, con pivot nelle colonne $1$ , $2$ e $3$ , quindi $rk A = 3$ e i vettori sono linearmente indipendenti.

Esercizio 3

Stabilire se i polinomi $p_{1} = 1 + x^{2}$ , $p_{2} = x - x^{2}$ , $p_{3} = 1 + x + 2 x^{2}$ di $R_{2} [x]$ sono linearmente indipendenti.

p_{1} \mapsto (1, 0, 1), p_{2} \mapsto (0, 1, - 1), p_{3} \mapsto (1, 1, 2)

101 01 - 1 112 = 1 \cdot (1 \cdot 2 - 1 \cdot (- 1)) - 0 + 1 \cdot (0 \cdot (- 1) - 1 \cdot 1)

= 3 - 1 = 2 \neq = 0

Si passa alle coordinate rispetto alla base canonica $(1, x, x^{2})$ : il polinomio $a + b x + c x^{2}$ corrisponde al vettore $(a, b, c)$ . Per l’osservazione sui calcoli in coordinate, i polinomi sono indipendenti se e solo se lo sono i vettori delle coordinate. I vettori sono tre in $R^{3}$ , quindi si calcola il determinante della matrice che li ha come colonne, sviluppato lungo la prima riga. Poiché il determinante vale $2 \neq = 0$ , i vettori delle coordinate sono indipendenti, perciò $p_{1}$ , $p_{2}$ , $p_{3}$ sono linearmente indipendenti e formano una base di $R_{2} [x]$ .

Esercizio 4

Al variare di $k \in R$ , stabilire per quali valori i vettori

v_{1} = (1, 1, k), v_{2} = (1, k, 1), v_{3} = (k, 1, 1)

sono linearmente dipendenti, e per tali valori scrivere una relazione di dipendenza.

11 k 1 k 1 k 11 R_{2} \to R_{2} - R_{1} R_{3} \to R_{3} - k R_{1} 100 1 k - 1 1 - k k 1 - k 1 - k^{2}

det A = (k - 1) (1 - k^{2}) - (1 - k)^{2} = (1 - k) [(k - 1) (1 + k) - (1 - k)] = (1 - k) (k^{2} + k - 2) = - (k - 1)^{2} (k + 2)

det A = 0 ⟺ k = 1 oppure k = - 2

k = 1 : v_{1} = v_{2} = v_{3} = (1, 1, 1), v_{1} - v_{2} = 0

k = - 2 : (1, 1, - 2) + (1, - 2, 1) + (- 2, 1, 1) = (0, 0, 0), v_{1} + v_{2} + v_{3} = 0

I vettori sono tre in $R^{3}$ , quindi per il teorema su indipendenza e rango sono dipendenti se e solo se il determinante della matrice $A$ che li ha come colonne è nullo. Le operazioni $R_{2} \to R_{2} - R_{1}$ e $R_{3} \to R_{3} - k R_{1}$ non cambiano il determinante, e la matrice ottenuta si sviluppa lungo la prima colonna. Raccogliendo il fattore $1 - k$ e scomponendo $k^{2} + k - 2 = (k - 1) (k + 2)$ si ottiene $det A = - (k - 1)^{2} (k + 2)$ , che si annulla per $k = 1$ e per $k = - 2$ .

Per $k \neq = 1$ e $k \neq = - 2$ i vettori sono indipendenti. Per $k = 1$ i tre vettori coincidono, quindi sono dipendenti e generano soltanto la retta $⟨(1, 1, 1)⟩$ . Per $k = - 2$ la somma dei tre vettori è nulla, quindi sono dipendenti, con relazione $v_{1} + v_{2} + v_{3} = 0$ ; poiché $v_{1}$ e $v_{2}$ non sono proporzionali, in questo caso generano un piano.